Номер 3.95, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.5. Ещё раз о законах алгебры (Узнайте больше). Глава 3. Введение в алгебру - номер 3.95, страница 85.

Условие.

3.95 Как известно, перемножить непосредственно можно только два числа. Поэтому для вычисления произведения $xyz$ (без изменения порядка множителей) в нём надо — хотя бы мысленно — поставить скобки, т. е. представить его как $(xy)z$ или как $x(yz)$. Итак, в выражении $xyz$ можно поставить скобки двумя способами. А сколькими способами можно поставить скобки в выражении $xyzt$? Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

А сколькими способами можно поставить скобки в выражении xyzt?

Чтобы вычислить произведение четырех чисел $xyzt$, необходимо последовательно выполнить три операции умножения, поскольку каждая операция умножения применяется только к двум числам. Расстановка скобок определяет порядок этих операций.

Вычисление произведения $xyzt$ всегда завершается одним, последним, умножением. Это последнее умножение должно разделить все выражение на два множителя. Для выражения $xyzt$ есть три возможных места для такого разделения:

1. Между $x$ и $yzt$, что дает вид $x \cdot (yzt)$.
2. Между $xy$ и $zt$, что дает вид $(xy) \cdot (zt)$.
3. Между $xyz$ и $t$, что дает вид $(xyz) \cdot t$.

Теперь рассмотрим каждый из этих трех случаев подробно:

Случай 1: $x \cdot (yzt)$
В этом случае нам нужно сначала вычислить произведение $yzt$. Как указано в условии задачи, для произведения трех чисел есть два способа расстановки скобок: $(yz)t$ и $y(zt)$. Это дает нам два итоговых варианта:
а) $x((yz)t)$
б) $x(y(zt))$

Случай 2: $(xy) \cdot (zt)$
Здесь оба множителя, $xy$ и $zt$, являются произведениями двух чисел. Для них скобки расставляются однозначно. Это дает нам только один итоговый вариант:
а) $(xy)(zt)$

Случай 3: $(xyz) \cdot t$
Здесь сначала вычисляется произведение $xyz$. Как и в первом случае, для него есть два способа расстановки скобок: $(xy)z$ и $x(yz)$. Это дает нам еще два итоговых варианта:
а) $((xy)z)t$
б) $(x(yz))t$

Суммируя все варианты из трех случаев, мы получаем $2+1+2=5$ способов расставить скобки в выражении $xyzt$. Вот полный список:
1. $((xy)z)t$
2. $(x(yz))t$
3. $(xy)(zt)$
4. $x((yz)t)$
5. $x(y(zt))$

Ответ: В выражении $xyzt$ можно поставить скобки 5 способами.

Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения.

Равенство всех этих выражений следует из сочетательного (ассоциативного) закона умножения, который гласит, что для любых чисел $a, b, c$ справедливо равенство: $(ab)c = a(bc)$. Используя этот закон, мы можем доказать, что все 5 полученных выражений равны между собой.

Докажем, что все варианты можно привести к одному, например, к $((xy)z)t$.

1. Рассмотрим выражение $(x(yz))t$.
По сочетательному закону для множителей $x, y, z$ имеем: $x(yz) = (xy)z$.
Подставив это в выражение, получаем: $(x(yz))t = ((xy)z)t$.

2. Рассмотрим выражение $(xy)(zt)$.
Применим сочетательный закон к множителям $a=(xy), b=z, c=t$.
По закону $(ab)c = a(bc)$, значит $((xy)z)t = (xy)(zt)$. Таким образом, этот вариант также равен $((xy)z)t$.

3. Рассмотрим выражение $x((yz)t)$.
Применим сочетательный закон к множителям $a=x, b=(yz), c=t$.
По закону $a(bc) = (ab)c$, значит $x((yz)t) = (x(yz))t$.
Как мы уже показали в пункте 1, $(x(yz))t$ равен $((xy)z)t$.
Следовательно, $x((yz)t) = ((xy)z)t$.

4. Рассмотрим выражение $x(y(zt))$.
Сначала применим сочетательный закон к внутренним скобкам с множителями $y, z, t$: $y(zt) = (yz)t$.
Подставив, получаем: $x(y(zt)) = x((yz)t)$.
Как мы показали в пункте 3, $x((yz)t)$ равен $((xy)z)t$.
Следовательно, $x(y(zt)) = ((xy)z)t$.

Таким образом, мы показали, что все пять способов расстановки скобок приводят к одному и тому же выражению $((xy)z)t$, а значит, все они равны между собой.

Ответ: Все полученные выражения равны, так как они могут быть преобразованы друг в друга с помощью многократного применения сочетательного закона умножения $(ab)c = a(bc)$.