Номер 3.97, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.97 Докажите, что $x + (y + (z + (t + u))) = x + y + z + t + u.$

Для доказательства данного равенства необходимо последовательно раскрыть скобки в его левой части. Это делается на основе сочетательного (ассоциативного) свойства сложения.

Сочетательное свойство сложения гласит, что для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство означает, что результат сложения трех и более чисел не зависит от того, как расставлены скобки, поэтому их можно опускать.

Рассмотрим левую часть исходного равенства: $x + (y + (z + (t + u)))$.

Начнем преобразование с самых внутренних скобок.

1. Сначала рассмотрим выражение $z + (t + u)$. По сочетательному свойству, его можно записать как $z + t + u$. Теперь исходное выражение выглядит так: $x + (y + (z + t + u))$.
2. Далее преобразуем выражение в оставшихся скобках: $y + (z + t + u)$. Снова применяем сочетательное свойство сложения. Мы складываем $y$ с суммой $(z + t + u)$, что эквивалентно последовательному сложению всех членов: $y + z + t + u$. После подстановки выражение принимает вид: $x + (y + z + t + u)$.
3. На последнем шаге убираем оставшиеся скобки, снова используя сочетательное свойство: $x + (y + z + t + u) = x + y + z + t + u$.

В результате последовательных преобразований мы показали, что левая часть равенства тождественно равна его правой части: $x + (y + (z + (t + u))) = x + y + z + t + u$.

Ответ: Равенство доказано путем многократного применения сочетательного свойства сложения, которое позволяет последовательно раскрывать скобки, не изменяя результат суммы.