Номер 3.34, страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.34 Назовите общий множитель числителя и знаменателя дроби и сократите её:

а) $\frac{4xy}{5yz}$;

б) $\frac{15km}{10nm}$;

в) $\frac{8ab}{12abc}$;

г) $\frac{7xyz}{21xz}$;

д) $\frac{6mnk}{9knp}$;

е) $\frac{2x^2}{3x}$;

ж) $\frac{4a}{6a^2}$;

з) $\frac{10c^3}{12c}$.

а) Рассмотрим дробь $\frac{4xy}{5yz}$. Числитель: $4xy$. Знаменатель: $5yz$. Числовые коэффициенты 4 и 5 не имеют общих делителей, кроме 1. Переменные в числителе: $x, y$. Переменные в знаменателе: $y, z$. Общим множителем для числителя и знаменателя является переменная $y$. Сократим дробь: $\frac{4xy}{5yz} = \frac{4x \cdot y}{5z \cdot y} = \frac{4x}{5z}$.
Ответ: общий множитель $y$; $\frac{4x}{5z}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{15km}{10nm}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $15km = 3 \cdot 5 \cdot k \cdot m$. Знаменатель: $10nm = 2 \cdot 5 \cdot n \cdot m$. Общий множитель для числовых коэффициентов 15 и 10 - это 5. Общий множитель для переменных - это $m$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $5m$. Сократим дробь: $\frac{15km}{10nm} = \frac{3 \cdot 5 \cdot k \cdot m}{2 \cdot 5 \cdot n \cdot m} = \frac{3k}{2n}$.
Ответ: общий множитель $5m$; $\frac{3k}{2n}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{8ab}{12abc}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $8ab = 2 \cdot 4 \cdot a \cdot b$. Знаменатель: $12abc = 3 \cdot 4 \cdot a \cdot b \cdot c$. Общий множитель для числовых коэффициентов 8 и 12 - это 4. Общие множители для переменных - это $a$ и $b$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $4ab$. Сократим дробь: $\frac{8ab}{12abc} = \frac{2 \cdot (4ab)}{3c \cdot (4ab)} = \frac{2}{3c}$.
Ответ: общий множитель $4ab$; $\frac{2}{3c}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{7xyz}{21xz}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $7xyz = 7 \cdot x \cdot y \cdot z$. Знаменатель: $21xz = 3 \cdot 7 \cdot x \cdot z$. Общий множитель для числовых коэффициентов 7 и 21 - это 7. Общие множители для переменных - это $x$ и $z$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $7xz$. Сократим дробь: $\frac{7xyz}{21xz} = \frac{y \cdot (7xz)}{3 \cdot (7xz)} = \frac{y}{3}$.
Ответ: общий множитель $7xz$; $\frac{y}{3}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{6mnk}{9knp}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $6mnk = 2 \cdot 3 \cdot m \cdot n \cdot k$. Знаменатель: $9knp = 3 \cdot 3 \cdot k \cdot n \cdot p$. Общий множитель для числовых коэффициентов 6 и 9 - это 3. Общие множители для переменных - это $k$ и $n$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $3kn$. Сократим дробь: $\frac{6mnk}{9knp} = \frac{2m \cdot (3nk)}{3p \cdot (3nk)} = \frac{2m}{3p}$.
Ответ: общий множитель $3kn$; $\frac{2m}{3p}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{2x^2}{3x}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $2x^2 = 2 \cdot x \cdot x$. Знаменатель: $3x = 3 \cdot x$. Числовые коэффициенты 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1. Общий множитель для переменных - это $x$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $x$. Сократим дробь: $\frac{2x^2}{3x} = \frac{2x \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{2x}{3}$.
Ответ: общий множитель $x$; $\frac{2x}{3}$.

ж) Рассмотрим дробь $\frac{4a}{6a^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $4a = 2 \cdot 2 \cdot a$. Знаменатель: $6a^2 = 2 \cdot 3 \cdot a \cdot a$. Общий множитель для числовых коэффициентов 4 и 6 - это 2. Общий множитель для переменных - это $a$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $2a$. Сократим дробь: $\frac{4a}{6a^2} = \frac{2 \cdot (2a)}{3a \cdot (2a)} = \frac{2}{3a}$.
Ответ: общий множитель $2a$; $\frac{2}{3a}$.

з) Рассмотрим дробь $\frac{10c^3}{12c}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $10c^3 = 2 \cdot 5 \cdot c \cdot c \cdot c$. Знаменатель: $12c = 2 \cdot 6 \cdot c$. Общий множитель для числовых коэффициентов 10 и 12 - это 2. Общий множитель для переменных - это $c$. Следовательно, общий множитель всей дроби равен $2c$. Сократим дробь: $\frac{10c^3}{12c} = \frac{5c^2 \cdot (2c)}{6 \cdot (2c)} = \frac{5c^2}{6}$.
Ответ: общий множитель $2c$; $\frac{5c^2}{6}$.