Номер 3, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 3.2. Преобразование буквенных выражений. Глава 3. Введение в алгебру - номер 3, страница 68.

Условие.

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3). Из каких законов оно следует?

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Сформулируйте правило преобразования произведения (фрагмент 3).

Правило преобразования произведения, в частности, при умножении одного многочлена на другой, формулируется следующим образом: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем сложить полученные произведения.

Например, для умножения двучлена $(a+b)$ на двучлен $(c+d)$ применяется формула: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. Это результат последовательного умножения члена $a$ на $c$ и $d$, а затем члена $b$ на $c$ и $d$, с последующим сложением результатов. Если в результате умножения появляются подобные слагаемые, их следует привести (сложить или вычесть).

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Из каких законов оно следует?

Данное правило является прямым следствием основных законов алгебры. Главным законом, на котором базируется это правило, является распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Также в процессе преобразований используются коммутативный (переместительный) и ассоциативный (сочетательный) законы.

Покажем, как это правило выводится из законов на примере умножения $(a+b)(c+d)$. Сначала, рассматривая $(a+b)$ как единое целое и применяя распределительный закон ($m(n+p) = mn+mp$), получаем: $(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d$. Затем, снова применяя распределительный закон к каждому из слагаемых в правой части, имеем: $ac+bc$ и $ad+bd$. Сложив их, получаем $(ac+bc) + (ad+bd)$. Наконец, используя ассоциативный и коммутативный законы сложения, мы можем убрать скобки и записать окончательный результат в стандартном виде: $ac+ad+bc+bd$.

Таким образом, правило преобразования произведения многочленов следует из:

• Распределительного закона умножения относительно сложения.
• Ассоциативного закона (сочетательного) для сложения и умножения.
• Коммутативного закона (переместительного) для сложения и умножения.

Ответ: Правило следует из распределительного, коммутативного и ассоциативного законов.