Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7 Для школы купили 6 одинаковых компьютеров. Сколько компьютеров, стоимость которых в 1,5 раза меньше, можно было бы купить на эту же сумму?

1) 4

2) 8

3) 9

4) для ответа не хватает данных

Это задача на обратную пропорциональность. Если цена товара уменьшается в определенное количество раз, то на ту же сумму денег можно купить во столько же раз больше этого товара.

Пусть первоначальная цена одного компьютера равна $P_1$. Для школы купили 6 таких компьютеров. Значит, общая потраченная сумма $S$ составляет:

$S = 6 \times P_1$

Теперь рассмотрим новые, более дешевые компьютеры. Их цена, назовем ее $P_2$, в 1,5 раза меньше, чем $P_1$. Математически это можно записать так:

$P_2 = \frac{P_1}{1.5}$

Нам необходимо определить, какое количество новых компьютеров, обозначим его как $N_2$, можно купить на ту же самую сумму $S$. Для этого нужно общую сумму разделить на цену одного нового компьютера:

$N_2 = \frac{S}{P_2}$

Теперь подставим в эту формулу ранее определенные выражения для $S$ и $P_2$:

$N_2 = \frac{6 \times P_1}{\frac{P_1}{1.5}}$

Чтобы упростить это выражение, разделим числитель на знаменатель. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$N_2 = (6 \times P_1) \times \frac{1.5}{P_1}$

В этом выражении переменная $P_1$ (цена первоначального компьютера) находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому она сокращается. Это означает, что для решения задачи нам не нужно знать точную стоимость компьютера.

$N_2 = 6 \times 1.5$

Остается выполнить простое умножение:

$6 \times 1.5 = 9$

Таким образом, на ту же сумму можно было бы купить 9 компьютеров, стоимость которых в 1,5 раза меньше.

Ответ: 9

8 Из каких отношений нельзя составить пропорцию?

1) $2 : 7$ и $11 : 33$

2) $\frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ и $2 : \frac{1}{2}$

3) $0,1 : 7$ и $0,5 : 35$

4) $0,02 : 0,1$ и $2 : 10$

Пропорция — это равенство двух отношений. Чтобы определить, можно ли из двух данных отношений составить пропорцию, необходимо найти значения этих отношений и сравнить их. Если значения равны, то пропорцию составить можно. Если не равны — нельзя.

1) $2:7$ и $11:33$

Первое отношение — это $2:7$, что в виде дроби записывается как $\frac{2}{7}$.

Второе отношение — $11:33$. Упростим его, разделив оба члена на 11:

$11 \div 11 = 1$

$33 \div 11 = 3$

Таким образом, второе отношение равно $1:3$, или $\frac{1}{3}$.

Теперь сравним два полученных значения: $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{3}$. Чтобы сравнить дроби, можно воспользоваться основным свойством пропорции (правилом креста): если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $a \times d = b \times c$.

Проверим: $2 \times 3 = 6$ и $7 \times 1 = 7$.

Поскольку $6 \neq 7$, то и $\frac{2}{7} \neq \frac{1}{3}$. Следовательно, из этих отношений нельзя составить пропорцию.

Ответ: Нельзя.

2) $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$ и $2:\frac{1}{2}$

Найдем значение первого отношения: $\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{1}{3} \div \frac{1}{4} = \frac{1}{3} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{3}$.

Теперь найдем значение второго отношения: $2:\frac{1}{2}$.

$2 \div \frac{1}{2} = 2 \times \frac{2}{1} = 4$.

Сравним полученные значения: $\frac{4}{3}$ и $4$. Очевидно, что $\frac{4}{3} \neq 4$. Следовательно, из этих отношений также нельзя составить пропорцию.

Ответ: Нельзя.

3) $0,1:7$ и $0,5:35$

Найдем значение первого отношения: $0,1:7$.

$\frac{0,1}{7} = \frac{0,1 \times 10}{7 \times 10} = \frac{1}{70}$.

Найдем значение второго отношения: $0,5:35$.

$\frac{0,5}{35} = \frac{0,5 \times 10}{35 \times 10} = \frac{5}{350}$.

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{5 \div 5}{350 \div 5} = \frac{1}{70}$.

Значения отношений равны: $\frac{1}{70} = \frac{1}{70}$. Следовательно, из этих отношений можно составить пропорцию.

Ответ: Можно.

4) $0,02:0,1$ и $2:10$

Найдем значение первого отношения: $0,02:0,1$.

$\frac{0,02}{0,1} = \frac{0,02 \times 100}{0,1 \times 100} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Найдем значение второго отношения: $2:10$.

$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Значения отношений равны: $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$. Следовательно, из этих отношений можно составить пропорцию.

Ответ: Можно.

Таким образом, на вопрос, из каких отношений нельзя составить пропорцию, правильными ответами являются пункты 1 и 2.

Дана пропорция $5 : a = 6 : b$. Какое из следующих равенств пропорцией не является?

1) $a : b = 5 : 6$

2) $b : a = 6 : 5$

3) $a : b = 6 : 5$

4) $a : 5 = b : 6$

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для исходной пропорции $5 : a = 6 : b$ это означает, что произведение крайних членов (5 и $b$) равно произведению средних членов ($a$ и 6). Таким образом, мы получаем равенство: $5 \cdot b = 6 \cdot a$.

Теперь необходимо проверить каждое из предложенных равенств, чтобы определить, какое из них не эквивалентно равенству $5b = 6a$.

1) $a : b = 5 : 6$

Применим основное свойство пропорции к этому равенству: $a \cdot 6 = b \cdot 5$, что можно записать как $6a = 5b$. Это равенство эквивалентно исходному, значит, это верная пропорция.

2) $b : a = 6 : 5$

Применим основное свойство пропорции: $b \cdot 5 = a \cdot 6$, что можно записать как $5b = 6a$. Это равенство эквивалентно исходному, значит, это верная пропорция.

3) $a : b = 6 : 5$

Применим основное свойство пропорции: $a \cdot 5 = b \cdot 6$, что можно записать как $5a = 6b$. Это равенство не эквивалентно исходному равенству $6a = 5b$. Следовательно, данное равенство не является пропорцией, вытекающей из исходной.

4) $a : 5 = b : 6$

Применим основное свойство пропорции: $a \cdot 6 = 5 \cdot b$, что можно записать как $6a = 5b$. Это равенство эквивалентно исходному, значит, это верная пропорция.

Таким образом, единственное равенство, которое не является пропорцией, — это равенство под номером 3.

Ответ: 3

10 Как можно найти неизвестный член пропорции $ \frac{x}{1,2} = \frac{5}{8} $?

1) $ x = \frac{8 \cdot 1,2}{5} $

2) $ x = \frac{1,2 \cdot 5}{8} $

3) $ x = \frac{8 \cdot 5}{1,2} $

4) $ x = \frac{8}{1,2 \cdot 5} $

Чтобы найти неизвестный член пропорции $ \frac{x}{1,2} = \frac{5}{8} $, можно воспользоваться основным свойством пропорции. Пропорция — это равенство двух отношений, $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. Члены $a$ и $d$ называются крайними, а члены $b$ и $c$ — средними.

Основное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ это записывается как $ a \cdot d = b \cdot c $.

В нашей пропорции $ \frac{x}{1,2} = \frac{5}{8} $:

• Крайние члены: $x$ и $8$.
• Средние члены: $1,2$ и $5$.

Применяя основное свойство, получаем равенство: $ x \cdot 8 = 1,2 \cdot 5 $.

Чтобы выразить неизвестный член $x$, нужно разделить произведение средних членов на известный крайний член (8):

$ x = \frac{1,2 \cdot 5}{8} $

Теперь сравним полученную формулу с предложенными вариантами:

1) $ x = \frac{8 \cdot 1,2}{5} $

2) $ x = \frac{1,2 \cdot 5}{8} $

3) $ x = \frac{8 \cdot 5}{1,2} $

4) $ x = \frac{8}{1,2 \cdot 5} $

Как мы видим, наше решение совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2).

11 Одна наборщица текста набирает страницу за 6 мин, а другая — за 10 мин. Первая за некоторое время набрала 40 страниц. Сколько страниц за это же время наберёт вторая?

Установите, какая пропорция соответствует условию задачи ($x$ — число страниц, которые набирает вторая наборщица).

1) $ \frac{6}{10} = \frac{x}{40} $

2) $ \frac{6}{10} = \frac{40}{x} $

3) $ \frac{6}{40} = \frac{x}{10} $

4) $ \frac{6}{40} = \frac{10}{x} $

Сколько страниц за это же время наберёт вторая?

1. Сначала найдем общее время, которое работала первая наборщица. Известно, что она набирает одну страницу за 6 минут и всего набрала 40 страниц.
Общее время работы: $T = 6 \text{ мин/стр} \times 40 \text{ стр} = 240 \text{ минут}$.

2. По условию, вторая наборщица работала то же самое время, то есть 240 минут. Известно, что она набирает одну страницу за 10 минут. Найдем, сколько страниц она наберет за 240 минут.
Количество страниц, набранных второй наборщицей: $x = \frac{240 \text{ минут}}{10 \text{ мин/стр}} = 24 \text{ страницы}$.

Ответ: 24 страницы.

Установите, какая пропорция соответствует условию задачи ($x$ — число страниц, которые набирает вторая наборщица).

В этой задаче мы имеем дело с обратно пропорциональной зависимостью. Это означает, что чем больше времени наборщица тратит на одну страницу (т.е. чем медленнее она работает), тем меньше страниц она наберет за один и тот же промежуток времени.

Обозначим:
$t_1 = 6$ мин — время набора 1 страницы первой наборщицей.
$t_2 = 10$ мин — время набора 1 страницы второй наборщицей.
$n_1 = 40$ страниц — количество страниц, набранных первой.
$n_2 = x$ страниц — количество страниц, набранных второй.

Общее время работы ($T$) для обеих наборщиц одинаково:
$T = t_1 \times n_1$ и $T = t_2 \times n_2$.
Следовательно, мы можем приравнять эти выражения:
$t_1 \times n_1 = t_2 \times n_2$
$6 \times 40 = 10 \times x$

Чтобы преобразовать это равенство в пропорцию (равенство двух отношений), можно разделить обе части на $10$ и на $40$, или просто составить отношение времени на страницу и обратное отношение количества страниц:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{n_2}{n_1}$
Подставим наши значения:
$\frac{6}{10} = \frac{x}{40}$

Данная пропорция соответствует варианту под номером 1).

Ответ: 1) $\frac{6}{10}=\frac{x}{40}$

12 Отрезок $AB$, длина которого равна 21 см, точками $C$ и $D$ разделён на три части в отношении $2 : 3 : 5$. Чему равна длина отрезка $CB$?

A C D B

По условию задачи, отрезок AB, длина которого равна 21 см, разделен точками C и D на три части в отношении $2:3:5$. Это означает, что длины отрезков AC, CD и DB можно представить как $2x$, $3x$ и $5x$ соответственно, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности (длина одной части).

Сумма длин этих трех частей равна общей длине отрезка AB: $AC + CD + DB = AB$

Подставим выражения для длин частей и значение длины AB в уравнение: $2x + 3x + 5x = 21$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$: $10x = 21$ $x = \frac{21}{10} = 2.1$ см.

Нам нужно найти длину отрезка CB. Судя по рисунку, отрезок CB является суммой отрезков CD и DB: $CB = CD + DB$

Выразим длину CB через $x$: $CB = 3x + 5x = 8x$

Теперь подставим найденное значение $x=2.1$ см в это выражение: $CB = 8 \cdot 2.1 = 16.8$ см.

Ответ: 16.8 см.