Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.56 Упростите отношение, сократив его:

а) $18 : 3 : 9$;

б) $10 : 15 : 15$;

в) $8 : 4 : 2 : 6$;

г) $12 : 42 : 30 : 24$.

а) Чтобы упростить отношение $18:3:9$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для всех его членов. Для чисел 18, 3 и 9 наибольший общий делитель равен 3. Разделим каждый член отношения на 3:
$18 \div 3 = 6$
$3 \div 3 = 1$
$9 \div 3 = 3$
Таким образом, упрощенное отношение имеет вид $6:1:3$.
Ответ: $6:1:3$

б) Чтобы упростить отношение $10:15:15$, найдем НОД для чисел 10 и 15. Наибольший общий делитель для них равен 5. Разделим каждый член отношения на 5:
$10 \div 5 = 2$
$15 \div 5 = 3$
$15 \div 5 = 3$
В результате получаем отношение $2:3:3$.
Ответ: $2:3:3$

в) Рассмотрим отношение $8:4:2:6$. Найдем НОД для чисел 8, 4, 2 и 6. Все эти числа являются четными, и их наименьший член - 2. Проверим, делятся ли все остальные числа на 2. Да, делятся. Значит, НОД равен 2. Разделим каждый член отношения на 2:
$8 \div 2 = 4$
$4 \div 2 = 2$
$2 \div 2 = 1$
$6 \div 2 = 3$
Упрощенное отношение: $4:2:1:3$.
Ответ: $4:2:1:3$

г) Упростим отношение $12:42:30:24$. Для этого найдем НОД для всех членов отношения. Разложим числа на простые множители:
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
Общими множителями для всех четырех чисел являются $2$ и $3$. Следовательно, НОД = $2 \cdot 3 = 6$. Разделим каждый член отношения на 6:
$12 \div 6 = 2$
$42 \div 6 = 7$
$30 \div 6 = 5$
$24 \div 6 = 4$
Получаем итоговое отношение $2:7:5:4$.
Ответ: $2:7:5:4$

2.57 Отношение, членами которого являются дробные числа, можно заменить отношением целых чисел, если умножить все его члены на одно и то же не равное нулю число. Упростите отношение:

а) $\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4}$;

б) $1\frac{1}{3} : 1\frac{1}{2} : 1$;

в) $0,5 : 1 : 1,5$;

г) $4,5 : 2,7 : 1,8$.

а) Чтобы упростить отношение $ \frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{4} $ и заменить его отношением целых чисел, необходимо умножить все его члены на число, которое сделает их целыми. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей (2 и 4). НОК(2, 4) = 4.
Умножим каждый член отношения на 4:
$ (\frac{1}{2} \cdot 4) : (\frac{1}{4} \cdot 4) : (\frac{1}{4} \cdot 4) $
$ \frac{4}{2} : \frac{4}{4} : \frac{4}{4} $
$ 2 : 1 : 1 $
Ответ: $ 2 : 1 : 1 $.

б) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$ 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $
$ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} $
Таким образом, исходное отношение можно записать как $ \frac{4}{3} : \frac{3}{2} : 1 $.
Чтобы получить целые числа, умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей (3 и 2). НОК(3, 2) = 6.
Умножим каждый член отношения на 6:
$ (\frac{4}{3} \cdot 6) : (\frac{3}{2} \cdot 6) : (1 \cdot 6) $
$ (4 \cdot 2) : (3 \cdot 3) : 6 $
$ 8 : 9 : 6 $
Это отношение уже нельзя упростить, так как у чисел 8, 9 и 6 нет общего делителя, кроме 1.
Ответ: $ 8 : 9 : 6 $.

в) Дано отношение с десятичными дробями: $ 0,5 : 1 : 1,5 $. Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены на 10 (так как максимальное число знаков после запятой равно одному).
$ (0,5 \cdot 10) : (1 \cdot 10) : (1,5 \cdot 10) $
$ 5 : 10 : 15 $
Теперь необходимо упростить полученное отношение, разделив все его члены на их наибольший общий делитель (НОД). Для чисел 5, 10 и 15 НОД равен 5.
Разделим каждый член отношения на 5:
$ (5 : 5) : (10 : 5) : (15 : 5) $
$ 1 : 2 : 3 $
Ответ: $ 1 : 2 : 3 $.

г) Дано отношение с десятичными дробями: $ 4,5 : 2,7 : 1,8 $. У всех членов по одному знаку после запятой, поэтому для получения целых чисел умножим все члены на 10.
$ (4,5 \cdot 10) : (2,7 \cdot 10) : (1,8 \cdot 10) $
$ 45 : 27 : 18 $
Теперь упростим полученное отношение, найдя наибольший общий делитель (НОД) для чисел 45, 27 и 18.
Разложим числа на простые множители:
$ 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 $
$ 27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 $
$ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 $
Общие множители — это $3 \cdot 3 = 9$. Значит, НОД(45, 27, 18) = 9.
Разделим каждый член отношения на 9:
$ (45 : 9) : (27 : 9) : (18 : 9) $
$ 5 : 3 : 2 $
Ответ: $ 5 : 3 : 2 $.

2.58 1) Распределите 70 билетов между тремя классами пропорционально числам 2, 3 и 5.

2) Разделите число $x$ на части, пропорциональные числам $a$, $b$, $c$.

1) Чтобы распределить 70 билетов между тремя классами пропорционально числам 2, 3 и 5, необходимо найти общую сумму долей и затем вычислить, сколько билетов приходится на каждую долю.

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда количество билетов, которое получит каждый класс, можно выразить как $2k$, $3k$ и $5k$. Сумма этих билетов должна быть равна общему количеству, то есть 70. Составим и решим уравнение:

$2k + 3k + 5k = 70$

Складываем все части с коэффициентом $k$:

$10k = 70$

Находим значение коэффициента пропорциональности:

$k = \frac{70}{10} = 7$

Теперь, зная значение $k$, мы можем рассчитать количество билетов для каждого класса:

Первый класс получит: $2 \times k = 2 \times 7 = 14$ билетов.

Второй класс получит: $3 \times k = 3 \times 7 = 21$ билет.

Третий класс получит: $5 \times k = 5 \times 7 = 35$ билетов.

Проверим, что сумма билетов равна 70: $14 + 21 + 35 = 70$. Расчеты верны.

Ответ: 14, 21 и 35 билетов.

2) Чтобы разделить число $x$ на части, пропорциональные числам $a$, $b$ и $c$, используется общий метод пропорционального деления.

Пусть искомые части числа $x$ равны $x_1$, $x_2$ и $x_3$. По условию, они пропорциональны числам $a, b, c$. Это значит, что существует такой коэффициент пропорциональности $k$, что:

$x_1 = ak$, $x_2 = bk$, $x_3 = ck$

Сумма этих частей должна быть равна исходному числу $x$:

$x_1 + x_2 + x_3 = x$

Подставим выражения для $x_1, x_2, x_3$ в это уравнение:

$ak + bk + ck = x$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$k(a + b + c) = x$

Отсюда выразим коэффициент пропорциональности $k$ (при условии, что сумма $a+b+c$ не равна нулю):

$k = \frac{x}{a + b + c}$

Теперь найдем каждую часть, подставив найденное значение $k$ в выражения для $x_1, x_2, x_3$:

Первая часть: $x_1 = ak = a \cdot \frac{x}{a + b + c} = \frac{ax}{a + b + c}$

Вторая часть: $x_2 = bk = b \cdot \frac{x}{a + b + c} = \frac{bx}{a + b + c}$

Третья часть: $x_3 = ck = c \cdot \frac{x}{a + b + c} = \frac{cx}{a + b + c}$

Ответ: части равны $\frac{ax}{a+b+c}$, $\frac{bx}{a+b+c}$ и $\frac{cx}{a+b+c}$.

2.59 Осенью учащиеся трёх классов работали в теплицах: 5 класс — 28 ч, 6 класс — 42 ч, 7 класс — 56 ч. Тепличное хозяйство оплатило их работу в размере 54000 р. Как разделить эту сумму между тремя классами?

Для того чтобы справедливо разделить общую сумму оплаты, необходимо распределить ее пропорционально времени, которое отработал каждый класс. Задачу можно решить в несколько шагов.

Шаг 1. Найдем общее количество отработанных часов.

Сложим часы работы всех трех классов, чтобы найти общее время работы:

$28 \text{ ч} + 42 \text{ ч} + 56 \text{ ч} = 126 \text{ часов}$

Шаг 2. Определим стоимость одного часа работы.

Разделим общую сумму оплаты на общее количество отработанных часов:

$54000 \text{ р.} \div 126 \text{ ч} = \frac{54000}{126} \text{ р./час}$

Дробь можно сократить. Например, разделив числитель и знаменатель на 18:

$\frac{54000 \div 18}{126 \div 18} = \frac{3000}{7} \text{ р./час}$

Оставим стоимость часа в виде дроби для точности вычислений.

Шаг 3. Рассчитаем сумму для каждого класса.

Теперь умножим количество часов, отработанных каждым классом, на стоимость одного часа.

5 класс:

Учащиеся 5 класса работали 28 часов. Их заработок составит:

$28 \text{ ч} \times \frac{3000}{7} \frac{\text{р.}}{\text{ч}} = \frac{28 \times 3000}{7} \text{ р.} = 4 \times 3000 \text{ р.} = 12000 \text{ р.}$

6 класс:

Учащиеся 6 класса работали 42 часа. Их заработок составит:

$42 \text{ ч} \times \frac{3000}{7} \frac{\text{р.}}{\text{ч}} = \frac{42 \times 3000}{7} \text{ р.} = 6 \times 3000 \text{ р.} = 18000 \text{ р.}$

7 класс:

Учащиеся 7 класса работали 56 часов. Их заработок составит:

$56 \text{ ч} \times \frac{3000}{7} \frac{\text{р.}}{\text{ч}} = \frac{56 \times 3000}{7} \text{ р.} = 8 \times 3000 \text{ р.} = 24000 \text{ р.}$

Проверка:

Сложим полученные суммы, чтобы убедиться, что они равны общей сумме оплаты:

$12000 \text{ р.} + 18000 \text{ р.} + 24000 \text{ р.} = 54000 \text{ р.}$

Расчеты верны.

Ответ: сумму в 54000 рублей следует разделить следующим образом: 5 классу — 12000 рублей, 6 классу — 18000 рублей, 7 классу — 24000 рублей.

2.60 Из лекарственных трав — шалфея, ромашки и валерианы — составили сбор, взяв их в отношении $2:5:3$. Какой процент этого сбора составляет каждая из трав?

Для определения процентного содержания каждой травы в сборе, необходимо сначала найти общее количество частей, из которых состоит сбор. Соотношение шалфея, ромашки и валерианы дано как $2:5:3$.

1. Найдем общее количество частей, сложив их:

$2 + 5 + 3 = 10$ (частей)

Таким образом, весь сбор состоит из 10 равных по массе частей. Всю массу сбора принимаем за 100%.

2. Теперь рассчитаем процентное содержание для каждой травы.

Шалфей

На долю шалфея приходится 2 части из 10. Чтобы найти его процентное содержание, необходимо долю этой травы в общем сборе умножить на 100%.

$\frac{2}{10} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\%$

Ответ: шалфей составляет 20% сбора.

Ромашка

На долю ромашки приходится 5 частей из 10. Рассчитаем ее процентное содержание аналогичным образом:

$\frac{5}{10} \times 100\% = 0.5 \times 100\% = 50\%$

Ответ: ромашка составляет 50% сбора.

Валериана

На долю валерианы приходится 3 части из 10. Рассчитаем ее процентное содержание:

$\frac{3}{10} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$

Ответ: валериана составляет 30% сбора.

Для проверки можно сложить полученные проценты: $20\% + 50\% + 30\% = 100\%$. Сумма процентов всех компонентов равна 100%, значит, расчеты верны.

2.61 Три цветовода решили выращивать цветы на продажу. В дело они вложили соответственно 2 тыс., 1,3 тыс. и 1,7 тыс. р. Какой процент прибыли получит каждый из них?

Прибыль в совместном деле принято делить пропорционально вложенным средствам. Чтобы найти, какой процент прибыли получит каждый цветовод, необходимо определить долю его вклада в общем капитале и выразить ее в процентах.

1. Находим общую сумму вложений.
Для этого сложим вклады всех трех цветоводов:
$2 \text{ тыс. р.} + 1,3 \text{ тыс. р.} + 1,7 \text{ тыс. р.} = 5 \text{ тыс. р.}$
Общая сумма вложений (общий капитал) составляет 5 тыс. рублей. Эту сумму мы принимаем за 100%.

2. Рассчитываем процент прибыли для каждого цветовода.

Процент прибыли первого цветовода
Вклад первого цветовода составляет 2 тыс. р. Его доля в общем капитале равна $ \frac{2}{5} $. Выразим эту долю в процентах:
$ \frac{2}{5} \times 100\% = 0,4 \times 100\% = 40\% $
Ответ: 40%.

Процент прибыли второго цветовода
Вклад второго цветовода составляет 1,3 тыс. р. Его доля в общем капитале равна $ \frac{1,3}{5} $. Выразим эту долю в процентах:
$ \frac{1,3}{5} \times 100\% = 0,26 \times 100\% = 26\% $
Ответ: 26%.

Процент прибыли третьего цветовода
Вклад третьего цветовода составляет 1,7 тыс. р. Его доля в общем капитале равна $ \frac{1,7}{5} $. Выразим эту долю в процентах:
$ \frac{1,7}{5} \times 100\% = 0,34 \times 100\% = 34\% $
Ответ: 34%.

Для проверки можно убедиться, что сумма всех долей составляет 100%:
$40\% + 26\% + 34\% = 100\%$.
Расчеты выполнены верно.

2.62 1) В выставке собак участвовали собаки больших, средних и мелких пород, число которых находилось в отношении $4 : 8 : 3$. Сколько всего собак на выставке, если:

а) собак мелких пород всего 6;

б) собак больших и средних пород вместе 36;

в) собак средних пород на 20 больше, чем мелких?

2) Для подготовки викторины «Крупнейшие столицы мира» учащиеся составили вопросы по темам «Географическое положение», «Климат», «Экономика», «Культура», которые решили взять в отношении $4 : 2 : 1 : 5$. Сколько всего вопросов будет в викторине, если включить:

а) $x$ вопросов по географическому положению;

б) $y$ вопросов по экономике и культуре?

1)

Обозначим количество собак больших, средних и мелких пород как $4k$, $8k$ и $3k$ соответственно, где $k$ — это одна часть в данном отношении.
Следовательно, общее количество собак на выставке равно сумме всех частей: $4k + 8k + 3k = 15k$.

а) собак мелких пород всего 6;

По условию, количество собак мелких пород составляет 3 части, что равно 6.
$3k = 6$
Чтобы найти одну часть, разделим 6 на 3:
$k = 6 / 3 = 2$
Теперь, когда мы знаем значение одной части, можем найти общее количество собак:
Всего собак = $15k = 15 \times 2 = 30$.

Ответ: всего на выставке было 30 собак.

б) собак больших и средних пород вместе 36;

Собаки больших и средних пород вместе составляют $4 + 8 = 12$ частей. По условию, это равно 36 собакам.
$12k = 36$
Найдем одну часть:
$k = 36 / 12 = 3$
Найдем общее количество собак, умножив общее количество частей (15) на значение одной части (3):
Всего собак = $15k = 15 \times 3 = 45$.

Ответ: всего на выставке было 45 собак.

в) собак средних пород на 20 больше, чем мелких;

Разница в количестве частей между собаками средних ($8k$) и мелких ($3k$) пород составляет $8 - 3 = 5$ частей. Эта разница по условию равна 20 собакам.
$8k - 3k = 20$
$5k = 20$
Найдем одну часть:
$k = 20 / 5 = 4$
Найдем общее количество собак:
Всего собак = $15k = 15 \times 4 = 60$.

Ответ: всего на выставке было 60 собак.

2)

Обозначим количество вопросов по темам «Географическое положение», «Климат», «Экономика» и «Культура» как $4k$, $2k$, $k$ и $5k$ соответственно, где $k$ — одна часть в данном отношении.
Общее количество вопросов в викторине равно сумме всех частей: $4k + 2k + k + 5k = 12k$.

а) x вопросов по географическому положению;

Количество вопросов по географическому положению составляет 4 части, что по условию равно $x$.
$4k = x$
Отсюда выразим одну часть:
$k = x / 4$
Теперь найдем общее количество вопросов, подставив значение $k$:
Всего вопросов = $12k = 12 \times (x / 4) = 3x$.

Ответ: всего в викторине будет $3x$ вопросов.

б) y вопросов по экономике и культуре?

Суммарное количество вопросов по экономике (1 часть) и культуре (5 частей) составляет $1 + 5 = 6$ частей. По условию, это равно $y$.
$k + 5k = y$
$6k = y$
Выразим одну часть:
$k = y / 6$
Найдем общее количество вопросов, подставив значение $k$:
Всего вопросов = $12k = 12 \times (y / 6) = 2y$.

Ответ: всего в викторине будет $2y$ вопросов.