Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.37 ФОРМУЛИРУЕМ АЛГОРИТМ

Из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ выразите число $a$; число $b$. Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции; неизвестного среднего члена пропорции.

Выражение числа a
Дана пропорция $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $. В любой верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Это основное свойство пропорции, которое можно записать в виде равенства: $ a \cdot d = b \cdot c $.
Чтобы из этого равенства выразить неизвестный член a, необходимо обе части уравнения разделить на известный член d (при условии, что $ d \neq 0 $).
$ \frac{a \cdot d}{d} = \frac{b \cdot c}{d} $
$ a = \frac{b \cdot c}{d} $
Ответ: $ a = \frac{bc}{d} $

Выражение числа b
Используем то же основное свойство пропорции: $ a \cdot d = b \cdot c $.
Чтобы из этого равенства выразить неизвестный член b, необходимо обе части уравнения разделить на известный член c (при условии, что $ c \neq 0 $).
$ \frac{a \cdot d}{c} = \frac{b \cdot c}{c} $
$ b = \frac{a \cdot d}{c} $
Ответ: $ b = \frac{ad}{c} $

Правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции
В пропорции $ a : b = c : d $ (или $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $) члены a и d называются крайними, а члены b и c — средними. Как было показано выше, чтобы найти крайний член a, нужно перемножить средние члены b и c и разделить на другой крайний член d. Это правило универсально для нахождения любого из крайних членов.
Ответ: Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение её средних членов разделить на известный крайний член.

Правило нахождения неизвестного среднего члена пропорции
Как было показано выше, чтобы найти средний член b, нужно перемножить крайние члены a и d и разделить на другой средний член c. Это правило универсально для нахождения любого из средних членов.
Ответ: Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение её крайних членов разделить на известный средний член.

2.38 Обозначьте неизвестную величину буквой и составьте разные пропорции по условию задачи:

а) Таня занимается рассылкой объявлений. Она запечатывает 100 конвертов за 16 мин. Сколько конвертов запечатает она за 40 мин, если будет работать с такой же скоростью?

б) Ольга может за 30 с набрать на компьютере 160 знаков. Сколько знаков она наберёт за 5 мин, если будет работать с той же скоростью?

а) Обозначим неизвестную величину — количество конвертов, которое Таня запечатает за 40 минут, — буквой $x$. Поскольку Таня работает с постоянной скоростью, количество запечатанных конвертов прямо пропорционально времени работы. Это означает, что отношение количества конвертов к затраченному времени является постоянной величиной.

На основе этого можно составить разные пропорции. Например:

1. Отношение «количество конвертов / время» постоянно:
$\frac{100}{16} = \frac{x}{40}$

2. Отношение количеств конвертов равно отношению времени:
$\frac{100}{x} = \frac{16}{40}$

Решим любую из составленных пропорций. Возьмём вторую: $\frac{100}{x} = \frac{16}{40}$.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$16 \cdot x = 100 \cdot 40$
$16x = 4000$
$x = \frac{4000}{16}$
$x = 250$
Следовательно, за 40 минут Таня запечатает 250 конвертов.

Ответ: 250 конвертов.

б) Обозначим неизвестное количество знаков, которое Ольга наберёт за 5 минут, буквой $y$. В условии задачи время указано в разных единицах (секунды и минуты), поэтому сначала приведём их к одной. Переведём 5 минут в секунды:
$5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 = 300 \text{ с}$.

Поскольку скорость набора знаков постоянна, количество набранных знаков прямо пропорционально времени. Составим разные пропорции по аналогии с предыдущей задачей:

1. Отношение «количество знаков / время» постоянно:
$\frac{160}{30} = \frac{y}{300}$

2. Отношение количеств знаков равно отношению времени:
$\frac{160}{y} = \frac{30}{300}$

Решим вторую пропорцию $\frac{160}{y} = \frac{30}{300}$.
Сначала упростим правую часть дроби: $\frac{30}{300} = \frac{1}{10}$.
Теперь пропорция выглядит так: $\frac{160}{y} = \frac{1}{10}$.
По основному свойству пропорции:
$1 \cdot y = 160 \cdot 10$
$y = 1600$
Следовательно, за 5 минут Ольга наберёт 1600 знаков.

Ответ: 1600 знаков.

Решите задачу (2.39–2.42).

2.39 a) За 2,5 ч выпало 1,5 мм осадков. Сколько осадков выпало бы за 6 ч, если бы дождь шёл с такой же силой?

б) За 2,5 мин на принтере распечатали 15 страниц. За какое время можно распечатать на этом принтере 100 страниц?

а)

Данная задача решается с помощью пропорции, так как количество осадков прямо пропорционально времени, в течение которого идет дождь (при условии, что сила дождя постоянна).

Способ 1. Нахождение интенсивности осадков.

1. Сначала определим, сколько осадков выпадает за 1 час (интенсивность дождя). Для этого разделим данное количество осадков на время:
$1,5 \text{ мм} \div 2,5 \text{ ч} = \frac{1,5}{2,5} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$ мм/ч.

2. Теперь, зная интенсивность, рассчитаем, сколько осадков выпадет за 6 часов. Умножим интенсивность на новое время:
$0,6 \text{ мм/ч} \times 6 \text{ ч} = 3,6$ мм.

Способ 2. Составление пропорции.

Пусть $x$ — искомое количество осадков в миллиметрах. Составим пропорцию:
За 2,5 часа выпало 1,5 мм осадков.
За 6 часов выпадет $x$ мм осадков.

Математически это можно записать так:
$\frac{2,5 \text{ ч}}{1,5 \text{ мм}} = \frac{6 \text{ ч}}{x \text{ мм}}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем уравнение:
$2,5 \cdot x = 6 \cdot 1,5$
$2,5x = 9$

Решим уравнение относительно $x$:
$x = \frac{9}{2,5} = \frac{90}{25} = 3,6$

Ответ: за 6 часов выпадет 3,6 мм осадков.

б)

Эта задача также на прямую пропорциональность: чем больше страниц нужно напечатать, тем больше времени это займет (при постоянной скорости печати).

Способ 1. Нахождение скорости печати.

1. Сначала найдем скорость печати принтера, то есть количество страниц, которое он печатает за одну минуту:
$15 \text{ страниц} \div 2,5 \text{ мин} = \frac{15}{2,5} = \frac{150}{25} = 6$ страниц/мин.

2. Теперь, зная скорость печати, найдем время, необходимое для печати 100 страниц. Разделим количество страниц на скорость печати:
$100 \text{ страниц} \div 6 \text{ страниц/мин} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$ мин.

Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$ мин.

Можно также перевести дробную часть в секунды: $\frac{2}{3}$ минуты = $\frac{2}{3} \times 60 \text{ секунд} = 40$ секунд. То есть, время составляет 16 минут 40 секунд.

Способ 2. Составление пропорции.

Пусть $t$ — искомое время в минутах. Составим пропорцию:
15 страниц печатаются за 2,5 минуты.
100 страниц печатаются за $t$ минут.

Запишем пропорцию в виде уравнения:
$\frac{15 \text{ страниц}}{2,5 \text{ мин}} = \frac{100 \text{ страниц}}{t \text{ мин}}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:
$15 \cdot t = 100 \cdot 2,5$
$15t = 250$

Найдем $t$:
$t = \frac{250}{15} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$ мин.

Ответ: 100 страниц можно распечатать за $16 \frac{2}{3}$ минуты (или за 16 минут 40 секунд).

2.40 Масштаб карты $1 : 5\,000\,000$.

а) Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чему равно это расстояние в действительности?

б) Расстояние между Москвой и Ригой 900 км. Чему равно это расстояние на карте?

а) Масштаб карты $1 : 5 \ 000 \ 000$ означает, что 1 сантиметр на карте соответствует $5 \ 000 \ 000$ сантиметрам в действительности.
Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см. Чтобы найти действительное расстояние, нужно расстояние на карте умножить на число, стоящее в знаменателе масштаба:
$9 \text{ см} \times 5 \ 000 \ 000 = 45 \ 000 \ 000 \text{ см}$.
Теперь переведем полученное расстояние из сантиметров в километры. В одном метре 100 сантиметров, а в одном километре 1000 метров, значит в одном километре $1000 \times 100 = 100 \ 000$ сантиметров.
Разделим расстояние в сантиметрах на $100 \ 000$:
$45 \ 000 \ 000 \text{ см} \div 100 \ 000 = 450 \text{ км}$.
Ответ: 450 км.

б) Действительное расстояние между Москвой и Ригой составляет 900 км. Чтобы найти, чему равно это расстояние на карте, сначала необходимо перевести километры в сантиметры.
Используя соотношение из предыдущего пункта ($1 \text{ км} = 100 \ 000 \text{ см}$), получаем:
$900 \text{ км} \times 100 \ 000 = 90 \ 000 \ 000 \text{ см}$.
Далее, чтобы найти расстояние на карте, разделим действительное расстояние в сантиметрах на знаменатель масштаба:
$90 \ 000 \ 000 \text{ см} \div 5 \ 000 \ 000 = 18 \text{ см}$.
Ответ: 18 см.

2.41 В любой окружности отношение длины окружности к её диаметру одно и то же и приближённо равно $\frac{22}{7}$.

a) Определите длину окружности, диаметр которой равен 3 см.

б) При каком диаметре длина окружности равна 10 см?

(Ответы округлите до десятых.)

В условии задачи сказано, что отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$ является постоянной величиной, приблизительно равной $\frac{22}{7}$. Эта величина известна как число пи ($\pi$). Таким образом, для решения задачи мы будем использовать формулу длины окружности:

$C = \pi d$, где $\pi \approx \frac{22}{7}$

а) Определите длину окружности, диаметр которой равен 3 см.

Для нахождения длины окружности $C$ подставим в формулу значение диаметра $d = 3$ см и приближенное значение $\pi$.

$C \approx \frac{22}{7} \times 3$

$C \approx \frac{66}{7}$

Теперь разделим 66 на 7 и округлим результат до десятых:

$66 \div 7 \approx 9.42857...$

Округляя до десятых, получаем $9.4$ см.

Ответ: 9.4 см

б) При каком диаметре длина окружности равна 10 см?

Для нахождения диаметра $d$ выразим его из формулы $C = \pi d$:

$d = \frac{C}{\pi}$

Подставим в полученную формулу значение длины окружности $C = 10$ см и приближенное значение $\pi$.

$d \approx \frac{10}{\frac{22}{7}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$d \approx 10 \times \frac{7}{22} = \frac{70}{22} = \frac{35}{11}$

Теперь разделим 35 на 11 и округлим результат до десятых:

$35 \div 11 \approx 3.181818...$

Округляя до десятых, получаем $3.2$ см.

Ответ: 3.2 см

2.42 a) Если в стакан насыпать 8 столовых ложек сахара, то заполнится $\frac{2}{3}$ стакана. Хватит ли 11 столовых ложек сахара, чтобы наполнить стакан?
б) Автомобиль проехал 280 км, затратив 21 л бензина. Хватит ли бака бензина, вмещающего 40 л, чтобы проехать 500 км?

а) Сначала определим, сколько столовых ложек сахара необходимо, чтобы наполнить стакан полностью. Обозначим это количество за $x$. Нам известно, что 8 столовых ложек заполняют $ \frac{2}{3} $ стакана. Составим пропорцию:

8 ложек — $ \frac{2}{3} $ стакана

$x$ ложек — 1 стакан (полный)

Из этой пропорции находим $x$:

$ x = 8 \div \frac{2}{3} = 8 \times \frac{3}{2} = \frac{24}{2} = 12 $ ложек.

Таким образом, для полного заполнения стакана требуется 12 столовых ложек сахара. По условию у нас есть 11 ложек. Сравним эти два значения:

$ 11 < 12 $

Следовательно, 11 столовых ложек сахара не хватит, чтобы наполнить стакан.

Ответ: нет, не хватит.

б) Сначала выясним, сколько литров бензина потребуется автомобилю, чтобы проехать 500 км. Обозначим это количество за $y$. Нам известно, что на 280 км было затрачено 21 л бензина. Составим пропорцию:

280 км — 21 л

500 км — $y$ л

Из этой пропорции находим $y$:

$ y = \frac{500 \times 21}{280} = \frac{50 \times 21}{28} = \frac{50 \times 3}{4} = \frac{150}{4} = 37.5 $ л.

Итак, на 500 км пути автомобилю потребуется 37,5 литров бензина. Вместимость бака составляет 40 литров. Сравним необходимое количество бензина с имеющимся:

$ 37.5 < 40 $

Поскольку необходимое количество бензина (37,5 л) меньше, чем вместимость бака (40 л), бензина хватит.

Ответ: да, хватит.

2.43 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Рассчитайте рецепт приготовления блюда:

а) Для 4 порций приправы требуется $\frac{1}{3}$ чайной ложки соли, $\frac{1}{4}$ чайной ложки перца и $\frac{1}{2}$ чайной ложки гвоздики. Сколько соли, перца и гвоздики потребуется для 30 порций?

б) В соответствии с рецептом пирога на 4 яйца требуется 1,5 стакана сахарного песка и $\frac{2}{3}$ стакана муки. Сколько сахарного песка и муки потребуется, если тесто готовится из 9 яиц?

а)

Чтобы рассчитать необходимое количество ингредиентов для 30 порций, сначала определим, во сколько раз количество порций увеличилось по сравнению с оригинальным рецептом. Затем умножим количество каждого ингредиента на этот коэффициент.

1. Найдем коэффициент изменения количества порций. Исходный рецепт рассчитан на 4 порции, а нам нужно приготовить 30.

Коэффициент = $30 \div 4 = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7,5$

2. Теперь умножим количество каждого ингредиента на полученный коэффициент, чтобы найти, сколько их потребуется для 30 порций.

Расчет для соли:

$ \frac{1}{3} \times \frac{15}{2} = \frac{1 \times 15}{3 \times 2} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $ чайной ложки.

Расчет для перца:

$ \frac{1}{4} \times \frac{15}{2} = \frac{1 \times 15}{4 \times 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $ чайной ложки.

Расчет для гвоздики:

$ \frac{1}{2} \times \frac{15}{2} = \frac{1 \times 15}{2 \times 2} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} $ чайной ложки.

Ответ: для 30 порций потребуется $2\frac{1}{2}$ чайной ложки соли, $1\frac{7}{8}$ чайной ложки перца и $3\frac{3}{4}$ чайной ложки гвоздики.

б)

Этот расчет аналогичен предыдущему. Сначала найдем коэффициент изменения, основанный на количестве яиц, а затем пропорционально увеличим количество остальных ингредиентов.

1. Найдем коэффициент изменения количества яиц. Исходный рецепт рассчитан на 4 яйца, а новый — на 9 яиц.

Коэффициент = $9 \div 4 = \frac{9}{4} = 2,25$

2. Теперь умножим количество сахарного песка и муки на этот коэффициент.

Расчет для сахарного песка (представим 1,5 стакана в виде неправильной дроби $\frac{3}{2}$):

$ \frac{3}{2} \times \frac{9}{4} = \frac{3 \times 9}{2 \times 4} = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} $ стакана.

Расчет для муки:

$ \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{2 \times 9}{3 \times 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $ стакана.

Ответ: если тесто готовится из 9 яиц, потребуется $3\frac{3}{8}$ стакана сахарного песка и $1\frac{1}{2}$ стакана муки.