Страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сформулируйте определение пропорции.

Пропорция — это верное равенство двух отношений. Если отношение числа $a$ к числу $b$ равно отношению числа $c$ к числу $d$, то равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или $a : b = c : d$ является пропорцией.

Читается это так: «a относится к b так же, как c относится к d». Важным условием является то, что члены отношений, на которые происходит деление ($b$ и $d$), не должны быть равны нулю.

Числа, составляющие пропорцию, имеют специальные названия:
$a$ и $d$ называются крайними членами пропорции.
$b$ и $c$ называются средними членами пропорции.

Основное свойство пропорции заключается в следующем: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
Для пропорции $a : b = c : d$ основное свойство записывается в виде формулы:
$a \cdot d = b \cdot c$

Это свойство позволяет проверять правильность пропорции и находить её неизвестный член.

Пример:
Рассмотрим равенство $4 : 2 = 10 : 5$. Является ли оно пропорцией?
Крайние члены: $4$ и $5$. Их произведение: $4 \cdot 5 = 20$.
Средние члены: $2$ и $10$. Их произведение: $2 \cdot 10 = 20$.
Поскольку произведение крайних членов равно произведению средних ($20 = 20$), данное равенство является верной пропорцией.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или $a : b = c : d$ (где $b \ne 0$ и $d \ne 0$). Основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$), то есть $a \cdot d = b \cdot c$.

Запишите каждое утверждение в виде пропорции, назовите крайние члены и средние члены пропорции:

а) 18 так относится к 6, как 15 относится к 5;

$ \frac{18}{6} = \frac{15}{5} $

Крайние члены: 18, 5

Средние члены: 6, 15

б) отношение 100 к 30 равно отношению 40 к 12;

$ \frac{100}{30} = \frac{40}{12} $

Крайние члены: 100, 12

Средние члены: 30, 40

в) 70 во столько раз больше 50, во сколько раз 14 больше 10;

$ \frac{70}{50} = \frac{14}{10} $

Крайние члены: 70, 10

Средние члены: 50, 14

г) 5 составляет такую же часть от 15, какую 6 составляет от 18.

$ \frac{5}{15} = \frac{6}{18} $

Крайние члены: 5, 18

Средние члены: 15, 6

а) Утверждение "18 так относится к 6, как 15 относится к 5" переводится в пропорцию, где отношение 18 к 6 равно отношению 15 к 5. Запись пропорции выглядит так: $18 : 6 = 15 : 5$. В этой пропорции крайние члены (первый и последний) — это 18 и 5. Средние члены (второй и третий) — это 6 и 15.
Ответ: пропорция $18 : 6 = 15 : 5$; крайние члены: 18 и 5; средние члены: 6 и 15.

б) Утверждение "отношение 100 к 30 равно отношению 40 к 12" является прямой записью пропорции, то есть равенства двух отношений: $100 : 30 = 40 : 12$. Крайними членами этой пропорции являются числа 100 и 12. Средними членами являются числа 30 и 40.
Ответ: пропорция $100 : 30 = 40 : 12$; крайние члены: 100 и 12; средние члены: 30 и 40.

в) Утверждение "70 во столько раз больше 50, во сколько раз 14 больше 10" означает, что отношение, показывающее, во сколько раз 70 больше 50 (т.е. $70:50$), равно отношению 14 к 10. Пропорция записывается как $70 : 50 = 14 : 10$. Крайними членами в ней являются 70 и 10, а средними членами — 50 и 14.
Ответ: пропорция $70 : 50 = 14 : 10$; крайние члены: 70 и 10; средние члены: 50 и 14.

г) Утверждение "5 составляет такую же часть от 15, какую 6 составляет от 18" означает, что отношение 5 к 15 равно отношению 6 к 18. Запишем это в виде пропорции: $5 : 15 = 6 : 18$. Крайними членами в этой пропорции являются числа 5 и 18. Средними членами являются числа 15 и 6.
Ответ: пропорция $5 : 15 = 6 : 18$; крайние члены: 5 и 18; средние члены: 15 и 6.

а) Сформулируйте основное свойство пропорции.

б) Найдите неизвестный член пропорции $\frac{15}{12} = \frac{10}{x}$.

а) Основное свойство пропорции гласит, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Если пропорция записана в виде $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или $a:b=c:d$, то числа $a$ и $d$ называются крайними членами, а числа $b$ и $c$ – средними членами.
Таким образом, основное свойство можно записать в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$.

Ответ: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению её средних членов.

б) Нам дана пропорция $\frac{15}{12} = \frac{10}{x}$.

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, воспользуемся основным свойством пропорции. Перемножим крайние члены ($15$ и $x$) и средние члены ($12$ и $10$):
$15 \cdot x = 12 \cdot 10$

Выполним умножение в правой части уравнения:
$15x = 120$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим произведение ($120$) на известный множитель ($15$):
$x = \frac{120}{15}$

$x = 8$

Ответ: $8$.

Составьте две разные пропорции по условию задачи, как это сделано в примере 2:

«На 10 одинаковых юбок требуется 8 м ткани. Сколько метров этой ткани потребуется на 6 таких же юбок?»

Первая пропорция:

$ \frac{8}{10} = \frac{x}{6} $

Вторая пропорция:

$ \frac{10}{6} = \frac{8}{x} $

Для решения задачи можно составить две разные пропорции. Пусть $x$ — это количество метров ткани, которое потребуется на 6 юбок. Зависимость между количеством юбок и количеством ткани прямая: чем больше юбок, тем больше ткани нужно.

Первая пропорция

В этой пропорции мы приравниваем отношение количества юбок к количеству ткани для каждого из двух случаев.

10 юбок — 8 м ткани
6 юбок — $x$ м ткани

Пропорция:

$\frac{10 \text{ юбок}}{8 \text{ м}} = \frac{6 \text{ юбок}}{x \text{ м}}$

Из этого следует:

$\frac{10}{8} = \frac{6}{x}$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), находим $x$:

$10 \cdot x = 8 \cdot 6$
$10x = 48$
$x = \frac{48}{10}$
$x = 4,8$

Ответ: на 6 юбок потребуется 4,8 м ткани.

Вторая пропорция

В этой пропорции мы приравниваем отношение количества юбок в первом и втором случаях к отношению количества ткани в первом и втором случаях.

Отношение количества юбок: 10 к 6
Отношение количества ткани: 8 к $x$

Пропорция:

$\frac{10 \text{ юбок}}{6 \text{ юбок}} = \frac{8 \text{ м}}{x \text{ м}}$

Из этого следует:

$\frac{10}{6} = \frac{8}{x}$

По основному свойству пропорции, находим $x$:

$10 \cdot x = 6 \cdot 8$
$10x = 48$
$x = \frac{48}{10}$
$x = 4,8$

Ответ: на 6 юбок потребуется 4,8 м ткани.

Решите задачу двумя способами, как это сделано в примере 3:

«Конфеты расфасовали в 20 упаковок, 200 г в каждой. Сколько упаковок получится, если это же количество конфет расфасовать в упаковки по 125 г?»

Способ 1

Этот способ заключается в том, чтобы сначала найти общую массу конфет, а затем разделить ее на новую массу одной упаковки.

1) Найдем общую массу конфет. Для этого умножим количество упаковок на массу конфет в каждой из них:
$20 \cdot 200 = 4000$ (г) — общая масса всех конфет.

2) Теперь разделим общую массу конфет на новую массу одной упаковки, чтобы узнать, сколько упаковок получится:
$4000 : 125 = 32$ (упаковки).

Ответ: 32 упаковки.

Способ 2

Этот способ основан на понятии обратной пропорциональности. Поскольку общее количество конфет остается неизменным, количество упаковок и масса одной упаковки являются обратно пропорциональными величинами. Это значит, что во сколько раз уменьшается масса одной упаковки, во столько же раз увеличивается их количество.

1) Вычислим, во сколько раз первоначальная масса упаковки (200 г) больше новой (125 г):
$200 : 125 = 1,6$ (раза).

2) Поскольку масса одной упаковки уменьшилась в 1,6 раза, количество упаковок должно увеличиться в 1,6 раза. Умножим первоначальное количество упаковок на этот коэффициент:
$20 \cdot 1,6 = 32$ (упаковки).

Решение можно также записать одним выражением, используя дроби:
$20 \cdot (200 : 125) = 20 \cdot \frac{200}{125} = 20 \cdot \frac{8}{5} = \frac{20 \cdot 8}{5} = 4 \cdot 8 = 32$ (упаковки).

Ответ: 32 упаковки.

2.35 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Проверьте двумя способами, является ли пропорцией следующее равенство:

а) $ \frac{14}{70} = \frac{25}{125} $;

б) $ 42 : 3 = 26 : 2 $;

в) $ \frac{7,5}{15} = \frac{0,6}{1,2} $;

г) $ \frac{2}{3} : \frac{1}{2} = 4 : 3 $.

а) $\frac{14}{70} = \frac{25}{125}$

Способ 1 (основное свойство пропорции):
Пропорция верна, если произведение её крайних членов равно произведению средних. Для равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это означает, что $a \cdot d = b \cdot c$.
В данном случае крайние члены — это $14$ и $125$, а средние — $70$ и $25$.
Найдём произведение крайних членов: $14 \cdot 125 = 1750$.
Найдём произведение средних членов: $70 \cdot 25 = 1750$.
Так как $1750 = 1750$, равенство является верной пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений):
Вычислим значение каждого отношения (дроби) и сравним их.
Значение левой части: $\frac{14}{70} = \frac{14 \div 14}{70 \div 14} = \frac{1}{5}$.
Значение правой части: $\frac{25}{125} = \frac{25 \div 25}{125 \div 25} = \frac{1}{5}$.
Так как $\frac{1}{5} = \frac{1}{5}$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: является пропорцией.

б) $42 : 3 = 26 : 2$

Способ 1 (основное свойство пропорции):
Запишем равенство в виде дробей: $\frac{42}{3} = \frac{26}{2}$.
Крайние члены — это $42$ и $2$, а средние — $3$ и $26$.
Произведение крайних членов: $42 \cdot 2 = 84$.
Произведение средних членов: $3 \cdot 26 = 78$.
Так как $84 \neq 78$, равенство не является пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений):
Вычислим значение каждого отношения.
Значение левой части: $42 : 3 = 14$.
Значение правой части: $26 : 2 = 13$.
Так как $14 \neq 13$, равенство не является пропорцией.

Ответ: не является пропорцией.

в) $\frac{7,5}{15} = \frac{0,6}{1,2}$

Способ 1 (основное свойство пропорции):
Крайние члены — это $7,5$ и $1,2$, а средние — $15$ и $0,6$.
Произведение крайних членов: $7,5 \cdot 1,2 = 9$.
Произведение средних членов: $15 \cdot 0,6 = 9$.
Так как $9 = 9$, равенство является верной пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений):
Вычислим значение каждой дроби.
Значение левой части: $\frac{7,5}{15} = \frac{75}{150} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Значение правой части: $\frac{0,6}{1,2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Так как $0,5 = 0,5$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: является пропорцией.

г) $\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = 4 : 3$

Способ 1 (основное свойство пропорции):
Запишем равенство в виде пропорции дробей: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$.
Крайние члены — это $\frac{2}{3}$ и $3$, а средние — $\frac{1}{2}$ и $4$.
Произведение крайних членов: $\frac{2}{3} \cdot 3 = 2$.
Произведение средних членов: $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Так как $2 = 2$, равенство является верной пропорцией.

Способ 2 (сравнение значений отношений):
Вычислим значение каждого отношения.
Значение левой части: $\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{4}{3}$.
Значение правой части: $4 : 3 = \frac{4}{3}$.
Так как $\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$, равенство является верной пропорцией.

Ответ: является пропорцией.

2.36 Найдите неизвестный член пропорции:

а) $ \frac{x}{10} = \frac{4}{5}; $ в) $ \frac{0,4}{b} = \frac{2}{7}; $ д) $ 3 : y = 2 : 5; $ ж) $ x : 1,4 = 3 : 0,7; $

б) $ \frac{6}{a} = \frac{3}{4}; $ г) $ \frac{3}{8} = \frac{y}{3,2}; $ е) $ 6 : 7 = 9 : c; $ з) $ 9 : 0,8 = a : 1,6. $

а) Чтобы найти неизвестный член пропорции $\frac{x}{10} = \frac{4}{5}$, воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$x \cdot 5 = 10 \cdot 4$
$5x = 40$
Чтобы найти $x$, разделим 40 на 5:
$x = \frac{40}{5}$
$x = 8$
Ответ: 8

б) В пропорции $\frac{6}{a} = \frac{3}{4}$ неизвестным является средний член. Применим основное свойство пропорции.
$6 \cdot 4 = a \cdot 3$
$24 = 3a$
Чтобы найти $a$, разделим 24 на 3:
$a = \frac{24}{3}$
$a = 8$
Ответ: 8

в) Для пропорции $\frac{0.4}{b} = \frac{2}{7}$ используем основное свойство.
$0.4 \cdot 7 = b \cdot 2$
$2.8 = 2b$
Чтобы найти $b$, разделим 2,8 на 2:
$b = \frac{2.8}{2}$
$b = 1.4$
Ответ: 1,4

г) Найдём неизвестный член в пропорции $\frac{3}{8} = \frac{y}{3.2}$.
$3 \cdot 3.2 = 8 \cdot y$
$9.6 = 8y$
Чтобы найти $y$, разделим 9,6 на 8:
$y = \frac{9.6}{8}$
$y = 1.2$
Ответ: 1,2

д) Пропорцию $3 : y = 2 : 5$ можно записать в виде дробей: $\frac{3}{y} = \frac{2}{5}$.
Применяем основное свойство пропорции:
$3 \cdot 5 = y \cdot 2$
$15 = 2y$
Чтобы найти $y$, разделим 15 на 2:
$y = \frac{15}{2}$
$y = 7.5$
Ответ: 7,5

е) Пропорцию $6 : 7 = 9 : c$ запишем как $\frac{6}{7} = \frac{9}{c}$.
Используем основное свойство:
$6 \cdot c = 7 \cdot 9$
$6c = 63$
Чтобы найти $c$, разделим 63 на 6:
$c = \frac{63}{6}$
$c = 10.5$
Ответ: 10,5

ж) Решим пропорцию $x : 1.4 = 3 : 0.7$, представив её в виде дробей $\frac{x}{1.4} = \frac{3}{0.7}$.
По основному свойству пропорции:
$x \cdot 0.7 = 1.4 \cdot 3$
$0.7x = 4.2$
Чтобы найти $x$, разделим 4,2 на 0,7:
$x = \frac{4.2}{0.7}$
$x = 6$
Ответ: 6

з) Найдём неизвестное $a$ в пропорции $9 : 0.8 = a : 1.6$, или $\frac{9}{0.8} = \frac{a}{1.6}$.
Применяем основное свойство:
$9 \cdot 1.6 = 0.8 \cdot a$
$14.4 = 0.8a$
Чтобы найти $a$, разделим 14,4 на 0,8:
$a = \frac{14.4}{0.8}$
$a = 18$
Ответ: 18