Номер 2.55, страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.55 Исследуем

а) Дана пропорция 16 : 10 = 24 : 15. Убедитесь, что вы вновь получите пропорцию, если:
поменяете местами крайние члены;
поменяете местами средние члены;
замените каждое отношение обратным.

б) Используя пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, запишите три новые пропорции. (Убедитесь в том, что полученные равенства действительно являются пропорциями.) Сформулируйте соответствующие свойства пропорции.

в) Чему равно отношение а к b, если известно, что
$a : 1,2 = b : 1,5$; $0,9 : b = 2,7 : a?$

а)

Дана пропорция $16 : 10 = 24 : 15$.

Сначала убедимся, что это верная пропорция. Для этого можно проверить равенство отношений или использовать основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних.

Проверка отношений: $16 \div 10 = 1,6$ и $24 \div 15 = 1,6$. Так как $1,6 = 1,6$, это верная пропорция.

Проверка по основному свойству: крайние члены — 16 и 15, средние члены — 10 и 24. $16 \cdot 15 = 240$. $10 \cdot 24 = 240$. Произведения равны, следовательно, пропорция верна.

Теперь выполним указанные преобразования и проверим результат:

• поменяете местами крайние члены;

  Исходные крайние члены — 16 и 15. Меняем их местами и получаем: $15 : 10 = 24 : 16$. Проверим новую пропорцию: $15 \div 10 = 1,5$ и $24 \div 16 = 1,5$. Равенство верно, значит, мы вновь получили пропорцию.

• поменяете местами средние члены;

  Исходные средние члены — 10 и 24. Меняем их местами и получаем: $16 : 24 = 10 : 15$. Проверим новую пропорцию: $16 \div 24 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ и $10 \div 15 = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Равенство верно, значит, мы вновь получили пропорцию.

• замените каждое отношение обратным.

  Исходные отношения $16:10$ и $24:15$. Заменяем их на обратные: $10:16$ и $15:24$. Получаем пропорцию: $10 : 16 = 15 : 24$. Проверим новую пропорцию: $10 \div 16 = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ и $15 \div 24 = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$. Равенство верно, значит, мы вновь получили пропорцию.

Ответ: Во всех трех случаях в результате преобразований снова получается верная пропорция.

б)

Дана пропорция $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Основное свойство этой пропорции заключается в том, что произведение ее крайних членов ($a$ и $d$) равно произведению средних членов ($b$ и $c$): $a \cdot d = b \cdot c$. Основываясь на этом, мы можем получить новые пропорции.

1. Новая пропорция, полученная перестановкой крайних членов:

$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Проверка: произведение крайних членов $d \cdot a$ равно произведению средних $b \cdot c$. Равенство $d \cdot a = b \cdot c$ является верным, так как оно совпадает с основным свойством исходной пропорции. Свойство 1: Если в верной пропорции поменять местами крайние члены, то полученное равенство также будет верной пропорцией.

2. Новая пропорция, полученная перестановкой средних членов:

$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Проверка: произведение крайних членов $a \cdot d$ равно произведению средних $c \cdot b$. Равенство $a \cdot d = c \cdot b$ является верным. Свойство 2: Если в верной пропорции поменять местами средние члены, то полученное равенство также будет верной пропорцией.

3. Новая пропорция, полученная заменой каждого отношения обратным:

$\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

Проверка: произведение крайних членов $b \cdot c$ равно произведению средних $a \cdot d$. Равенство $b \cdot c = a \cdot d$ является верным. Свойство 3: Если в верной пропорции каждое отношение заменить обратным, то полученное равенство также будет верной пропорцией.

Ответ: Три новые пропорции: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$, $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$, $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$. Соответствующие свойства: 1) В верной пропорции можно поменять местами крайние члены. 2) В верной пропорции можно поменять местами средние члены. 3) В верной пропорции можно каждое отношение заменить на обратное.

в)

Найдем отношение $a$ к $b$ для каждого случая.

1. Дана пропорция $a : 1,2 = b : 1,5$.

Запишем ее в виде равенства дробей:

$\frac{a}{1,2} = \frac{b}{1,5}$

Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, воспользуемся свойством перестановки средних членов (поменяем местами $b$ и $1,2$):

$\frac{a}{b} = \frac{1,2}{1,5}$

Теперь вычислим значение дроби:

$\frac{1,2}{1,5} = \frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$

Отношение $a$ к $b$ равно $\frac{4}{5}$ или $0,8$.

2. Дана пропорция $0,9 : b = 2,7 : a$.

Запишем ее в виде равенства дробей:

$\frac{0,9}{b} = \frac{2,7}{a}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$0,9 \cdot a = 2,7 \cdot b$

Чтобы найти отношение $\frac{a}{b}$, разделим обе части равенства на $b$ (при $b \ne 0$), а затем на $0,9$:

$\frac{a}{b} = \frac{2,7}{0,9}$

Вычислим значение:

$\frac{2,7}{0,9} = \frac{27}{9} = 3$

Отношение $a$ к $b$ равно $3$.

Ответ: для пропорции $a : 1,2 = b : 1,5$ отношение $a$ к $b$ равно $\frac{4}{5}$; для пропорции $0,9 : b = 2,7 : a$ отношение $a$ к $b$ равно $3$.