Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.71 а) Летом на дачу с детским садом выехало 180 детей. Известно, что $10\%$ детей не поехало на дачу. Сколько всего детей в детском саду?

б) Когда 78 пассажиров заняли в самолёте свои места, осталось свободными $40\%$ всех мест. Сколько пассажиров вмещает самолёт?

а) Пусть $x$ — это общее количество детей в детском саду. Это количество мы принимаем за 100%.
По условию, 10% детей не поехало на дачу. Это означает, что доля детей, которые поехали на дачу, составляет:
$100\% - 10\% = 90\%$
Мы знаем, что количество поехавших детей равно 180. Таким образом, 180 детей составляют 90% от общего числа детей в детском саду.
Чтобы найти общее количество детей (100%), можно составить пропорцию:
180 детей — это 90%
$x$ детей — это 100%
Решим эту пропорцию:
$x = \frac{180 \cdot 100}{90}$
$x = \frac{18000}{90} = 200$
Таким образом, всего в детском саду 200 детей.
Ответ: 200 детей.

б) Пусть $y$ — это общее количество мест в самолёте, которое мы принимаем за 100%.
Из условия известно, что после того, как 78 пассажиров заняли свои места, свободными остались 40% всех мест.
Это значит, что доля занятых мест составляет:
$100\% - 40\% = 60\%$
Количество занятых мест равно 78. Следовательно, 78 мест составляют 60% от общей вместимости самолёта.
Составим пропорцию, чтобы найти общее количество мест ($y$):
78 мест — это 60%
$y$ мест — это 100%
Решим пропорцию:
$y = \frac{78 \cdot 100}{60}$
$y = \frac{7800}{60} = \frac{780}{6} = 130$
Следовательно, самолёт вмещает 130 пассажиров.
Ответ: 130 пассажиров.

1.72 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Имеется творог двух сортов: жирный содержит $20\%$ жира, а нежирный содержит $5\%$ жира. Определите процент жирности полученного творога, если смешали:

а) $2 \text{ кг}$ жирного и $3 \text{ кг}$ нежирного творога;

б) $3 \text{ кг}$ жирного и $2 \text{ кг}$ нежирного творога.

Чтобы определить процент жирности полученного творога, необходимо найти общую массу жира в смеси и разделить ее на общую массу смеси, а затем умножить результат на 100%.

а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога;

1. Найдем массу жира в 2 кг жирного творога, жирность которого составляет 20% (или 0,20 в долях):
$m_{жира1} = 2 \text{ кг} \times 0.20 = 0.4 \text{ кг}$

2. Найдем массу жира в 3 кг нежирного творога, жирность которого составляет 5% (или 0,05 в долях):
$m_{жира2} = 3 \text{ кг} \times 0.05 = 0.15 \text{ кг}$

3. Найдем общую массу жира в получившейся смеси:
$m_{жира\_общ} = m_{жира1} + m_{жира2} = 0.4 \text{ кг} + 0.15 \text{ кг} = 0.55 \text{ кг}$

4. Найдем общую массу смеси:
$m_{смеси} = 2 \text{ кг} + 3 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$

5. Рассчитаем процент жирности полученного творога:
$W_{жира} = \frac{m_{жира\_общ}}{m_{смеси}} \times 100\% = \frac{0.55 \text{ кг}}{5 \text{ кг}} \times 100\% = 0.11 \times 100\% = 11\%$

Ответ: 11%.

б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

1. Найдем массу жира в 3 кг жирного творога (20% жирности):
$m_{жира1} = 3 \text{ кг} \times 0.20 = 0.6 \text{ кг}$

2. Найдем массу жира в 2 кг нежирного творога (5% жирности):
$m_{жира2} = 2 \text{ кг} \times 0.05 = 0.1 \text{ кг}$

3. Найдем общую массу жира в получившейся смеси:
$m_{жира\_общ} = m_{жира1} + m_{жира2} = 0.6 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг} = 0.7 \text{ кг}$

4. Найдем общую массу смеси:
$m_{смеси} = 3 \text{ кг} + 2 \text{ кг} = 5 \text{ кг}$

5. Рассчитаем процент жирности полученного творога:
$W_{жира} = \frac{m_{жира\_общ}}{m_{смеси}} \times 100\% = \frac{0.7 \text{ кг}}{5 \text{ кг}} \times 100\% = 0.14 \times 100\% = 14\%$

Ответ: 14%.

1.73 a) В голосовании на выборах в окружную администрацию приняло участие $65\%$ избирателей округа, $40\%$ из них проголосовало за кандидата А. Сколько процентов избирателей данного округа отдало голоса за этого кандидата?

б) Легковые автомобили составляют $60\%$ всего транспорта автопарка, $90\%$ из них — автомобили, выпущенные в России, причём $50\%$ из них — автомобили ВАЗ. Какой процент автомобилей всего автопарка составляют автомобили ВАЗ?

а)

Для решения этой задачи нам нужно найти процент от процента. Общее количество избирателей в округе принимается за 100%.

1. Сначала определим, какая часть от общего числа избирателей приняла участие в голосовании. По условию это 65%, что в виде десятичной дроби составляет $0,65$.

2. Далее, из тех, кто принял участие в голосовании (то есть из этих 65%), 40% проголосовали за кандидата А. Чтобы найти, какую долю это составляет от общего числа избирателей, мы должны найти 40% от 65%.

3. Переведем 40% в десятичную дробь: $40\% = 0,40$. Теперь умножим доли друг на друга:
$0,65 \cdot 0,40 = 0,26$

4. Полученное число $0,26$ — это доля проголосовавших за кандидата А от общего числа избирателей округа. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:
$0,26 \cdot 100\% = 26\%$

Ответ: 26% избирателей данного округа отдали голоса за кандидата А.

б)

Эта задача также решается путем последовательного нахождения части от части. Весь автопарк принимается за 100%.

1. Определим долю легковых автомобилей во всем автопарке. По условию это 60%, что в виде десятичной дроби равно $0,60$.

2. Из этих легковых автомобилей 90% выпущены в России. Найдем, какую долю от всего автопарка составляют легковые автомобили, выпущенные в России. Для этого найдем 90% от 60%:
Переводим 90% в дробь: $90\% = 0,90$.
$0,60 \cdot 0,90 = 0,54$
Таким образом, 54% всего автопарка — это легковые автомобили российского производства.

3. Далее, из этих российских легковых автомобилей 50% — это автомобили ВАЗ. Чтобы найти, какую долю автомобили ВАЗ составляют от всего автопарка, нужно найти 50% от 54%:
Переводим 50% в дробь: $50\% = 0,50$.
$0,54 \cdot 0,50 = 0,27$

4. Полученное число $0,27$ — это доля автомобилей ВАЗ во всем автопарке. Переведем это значение в проценты:
$0,27 \cdot 100\% = 27\%$

Ответ: 27% автомобилей всего автопарка составляют автомобили ВАЗ.

1.74 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ В одной из газет автор заметки писал о скидках, к которым прибегают в магазинах перед большими праздниками. Продавцы заранее увеличивают цены на 20%, а потом делают большую праздничную скидку на 30%. По мнению автора, скидка фактически составляет всего лишь 10%. А сколько она составляет на самом деле?

Чтобы определить реальный размер скидки, необходимо последовательно рассчитать изменение цены товара. Пусть первоначальная цена товара составляет $x$.

1. Увеличение цены

Сначала продавцы увеличивают цену на 20%. Новая цена ($x_1$) будет равна первоначальной цене плюс 20% от нее:

$x_1 = x + x \cdot \frac{20}{100} = x + 0.2x = 1.2x$.

Таким образом, цена после увеличения составляет 120% от первоначальной.

2. Предоставление скидки

Затем от новой, уже увеличенной цены ($1.2x$), предоставляется скидка в 30%. Важно понимать, что скидка рассчитывается от увеличенной цены, а не от первоначальной.

Размер скидки составляет $30\%$ от $1.2x$: $1.2x \cdot \frac{30}{100} = 1.2x \cdot 0.3 = 0.36x$.

Чтобы найти итоговую цену ($x_{final}$), нужно вычесть размер скидки из увеличенной цены:

$x_{final} = 1.2x - 0.36x = 0.84x$.

Итоговая цена составляет 84% от первоначальной цены $x$.

3. Расчет фактической скидки

Фактическая скидка — это разница между первоначальной ценой и конечной ценой, выраженная в процентах от первоначальной цены.

Разница в цене составляет: $x - x_{final} = x - 0.84x = 0.16x$.

Теперь выразим эту разницу в процентах от начальной цены $x$:

$\frac{0.16x}{x} \cdot 100\% = 0.16 \cdot 100\% = 16\%$.

Автор заметки был неправ, предполагая, что скидка составит $30\% - 20\% = 10\%$. Такая операция математически некорректна, поскольку проценты вычислялись от разных базовых сумм.

Ответ: На самом деле скидка составляет 16%.

1.75 a) Автомобиль прошёл 40% пути, а затем 30% оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему осталось пройти?

б) Перед поездкой бак автомобиля был заполнен на 80%. Во время поездки было истрачено 25% имевшегося запаса бензина. На сколько процентов был заполнен бензином бак к концу поездки?

а)

Примем весь путь за 100%.

1. Сначала автомобиль прошёл 40% всего пути. Найдём, сколько процентов пути осталось пройти после этого. Для этого вычтем из всего пути пройденную часть:

$100\% - 40\% = 60\%$

Таким образом, осталось пройти 60% от всего пути.

2. Затем автомобиль прошёл 30% от оставшегося расстояния. Найдём, сколько это составляет в процентах от всего пути. Для этого нужно найти 30% от 60%:

$0.30 \times 60\% = 18\%$

Это означает, что второй пройденный участок составил 18% от всего пути.

3. Теперь определим, какую общую часть пути автомобиль уже прошёл. Для этого сложим проценты за первый и второй участки:

$40\% + 18\% = 58\%$

Всего пройдено 58% пути.

4. Чтобы найти, сколько процентов всего пути осталось пройти автомобилю, вычтем из общего пути (100%) пройденную часть (58%):

$100\% - 58\% = 42\%$

Ответ: 42%

б)

Примем полный объём бака за 100%.

1. Перед поездкой бак был заполнен на 80%. Это и есть "имевшийся запас бензина".

2. Во время поездки было истрачено 25% от имевшегося запаса. То есть, было истрачено 25% от 80% объёма бака. Найдём, какую часть от полного бака составляет истраченный бензин:

$0.25 \times 80\% = 20\%$

Таким образом, было истрачено 20% от полного объёма бака.

3. Чтобы найти, на сколько процентов был заполнен бак к концу поездки, нужно из начального уровня заполнения (80%) вычесть истраченное количество бензина (20%):

$80\% - 20\% = 60\%$

Следовательно, к концу поездки бак был заполнен на 60%.

Ответ: 60%