Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.51 1) Из выражений $(3,4 - 2,8)^3$, $-(2,8 - 3,4)^3$, $-(3,4 - 2,8)^3$ выберите те те, значения которых противоположны значению выражения $(2,8 - 3,4)^3$; равны ему.

2) Из выражений $-(23 - 1,7)^2$, $-(1,7 - 23)^2$, $(1,7 - 23)^2$, $-(23 + 1,7)^2$ выберите такое, значение которого равно значению выражения $(23 - 1,7)^2$.

Требуется из выражений $(3,4 - 2,8)^3$, $-(2,8 - 3,4)^3$, $-(3,4 - 2,8)^3$ выбрать те, значения которых противоположны и равны значению выражения $(2,8 - 3,4)^3$.

Для решения воспользуемся свойством нечетной степени (в данном случае, куба): для любого числа $a$ справедливо равенство $(-a)^3 = -a^3$. Это означает, что при возведении в куб знак "минус" можно вынести за скобки.

Проанализируем каждое предложенное выражение:

1. Выражение $(3,4 - 2,8)^3$.
Заметим, что основание степени можно преобразовать: $3,4 - 2,8 = -(2,8 - 3,4)$.
Тогда, используя свойство нечетной степени, получаем:
$(3,4 - 2,8)^3 = (-(2,8 - 3,4))^3 = -(2,8 - 3,4)^3$.
Значение этого выражения противоположно исходному.

2. Выражение $-(2,8 - 3,4)^3$.
По определению, это выражение является противоположным исходному $(2,8 - 3,4)^3$.

3. Выражение $-(3,4 - 2,8)^3$.
Из пункта 1 мы знаем, что $(3,4 - 2,8)^3 = -(2,8 - 3,4)^3$.
Подставим это в наше выражение: $-(3,4 - 2,8)^3 = -(-(2,8 - 3,4)^3) = (2,8 - 3,4)^3$.
Значение этого выражения равно исходному.

Ответ: Противоположные значения имеют выражения $(3,4 - 2,8)^3$ и $-(2,8 - 3,4)^3$. Равное значение имеет выражение $-(3,4 - 2,8)^3$.

Требуется из выражений $-(23 - 1,7)^2$, $-(1,7 - 23)^2$, $(1,7 - 23)^2$, $-(23 + 1,7)^2$ выбрать такое, значение которого равно значению выражения $(23 - 1,7)^2$.

Для решения воспользуемся свойством четной степени (в данном случае, квадрата): для любого числа $a$ справедливо равенство $(-a)^2 = a^2$. Это означает, что квадраты противоположных чисел равны.

Основание степени в исходном выражении равно $23 - 1,7$. Противоположное ему выражение: $-(23 - 1,7) = 1,7 - 23$.
Следовательно, согласно свойству четной степени: $(23 - 1,7)^2 = (1,7 - 23)^2$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты и найдем среди них равное $(23 - 1,7)^2$.

• Выражение $-(23 - 1,7)^2$ не равно исходному, так как имеет противоположный знак.

• Выражение $-(1,7 - 23)^2$. Так как $(1,7 - 23)^2 = (23 - 1,7)^2$, то это выражение равно $-(23 - 1,7)^2$ и не равно исходному.

• Выражение $(1,7 - 23)^2$. Как мы показали выше, это выражение равно исходному.

• Выражение $-(23 + 1,7)^2$ не равно исходному, так как основания степеней $23 + 1,7$ и $23 - 1,7$ не равны и не противоположны.

Ответ: $(1,7 - 23)^2$.

1.52 Расположите в порядке возрастания числа:

а) $-1,2$; $-1,2^2$; $1,2$; $(-1,2)^2$;

б) $0,15$; $-0,15$; $(-0,15)^2$; $(-0,15)^3$.

а) Чтобы расположить числа в порядке возрастания, сначала вычислим значение каждого выражения.

1. Первое число: $-1,2$.
2. Второе число: $-1,2^2$. Согласно правилам порядка выполнения операций, сначала выполняется возведение в степень, а затем применяется унарный минус. Таким образом, $-1,2^2 = -(1,2^2) = -(1,2 \cdot 1,2) = -1,44$.
3. Третье число: $1,2$.
4. Четвертое число: $(-1,2)^2$. В данном случае в квадрат возводится отрицательное число $-1,2$. Результат будет положительным: $(-1,2)^2 = (-1,2) \cdot (-1,2) = 1,44$.

Мы получили следующие числовые значения: $-1,2$; $-1,44$; $1,2$; $1,44$.

Теперь расположим эти числа на числовой прямой, то есть в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
$-1,44 < -1,2 < 1,2 < 1,44$.

Заменив вычисленные значения на исходные выражения, получаем итоговый порядок:
$-1,2^2$; $-1,2$; $1,2$; $(-1,2)^2$.
Ответ: $-1,2^2$; $-1,2$; $1,2$; $(-1,2)^2$.

б) Аналогичным образом поступим со вторым набором чисел.

1. Первое число: $0,15$.
2. Второе число: $-0,15$.
3. Третье число: $(-0,15)^2$. Возведение отрицательного числа в четную степень (2) дает положительный результат: $(-0,15)^2 = (-0,15) \cdot (-0,15) = 0,0225$.
4. Четвертое число: $(-0,15)^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат: $(-0,15)^3 = (-0,15) \cdot (-0,15) \cdot (-0,15) = 0,0225 \cdot (-0,15) = -0,003375$.

Мы получили следующие числовые значения: $0,15$; $-0,15$; $0,0225$; $-0,003375$.

Теперь расположим их в порядке возрастания. Сначала идут отрицательные числа, затем положительные. Сравниваем отрицательные числа: $-0,15$ меньше, чем $-0,003375$. Сравниваем положительные числа: $0,0225$ меньше, чем $0,15$.
Итоговая последовательность:
$-0,15 < -0,003375 < 0,0225 < 0,15$.

Заменив значения на исходные выражения, получаем:
$-0,15$; $(-0,15)^3$; $(-0,15)^2$; $0,15$.
Ответ: $-0,15$; $(-0,15)^3$; $(-0,15)^2$; $0,15$.

1.53 Сравните числа $a$ и $a^2$, если известно, что:

а) $a < 0$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a > 1$.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

а) Если $a < 0$, то $a$ — отрицательное число. Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, является положительным числом, поэтому $a^2$ будет положительным. Любое положительное число ($a^2$) всегда больше любого отрицательного числа ($a$). Следовательно, $a^2 > a$.
Проведем числовой эксперимент, как предложено в подсказке. Возьмем $a = -2$. Тогда $a^2 = (-2)^2 = 4$. Сравнивая, получаем $-2 < 4$, то есть $a < a^2$.
Другой способ — рассмотреть разность $a^2 - a = a(a-1)$. По условию $a < 0$. Если $a$ — отрицательное число, то $a-1$ также является отрицательным числом. Произведение двух отрицательных чисел ($a$ и $a-1$) всегда положительно. Таким образом, $a(a-1) > 0$, что означает $a^2 - a > 0$, и из этого следует, что $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.

б) Если $0 < a < 1$, то $a$ — это положительное число, меньшее единицы (например, правильная дробь). При умножении такого числа на само себя результат уменьшается.
Числовой эксперимент: пусть $a = 0.5$ (или $1/2$). Тогда $a^2 = (0.5)^2 = 0.25$ (или $(1/2)^2 = 1/4$). Сравнивая, получаем $0.5 > 0.25$, то есть $a > a^2$.
Чтобы доказать это в общем виде, умножим обе части неравенства $a < 1$ на $a$. Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a>0$), знак неравенства не изменится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, откуда получаем $a^2 < a$.
Ответ: $a > a^2$.

в) Если $a > 1$, то $a$ — это число, большее единицы. При возведении такого числа в квадрат, оно увеличивается.
Числовой эксперимент: пусть $a = 2$. Тогда $a^2 = 2^2 = 4$. Сравнивая, получаем $2 < 4$, то есть $a < a^2$.
Чтобы доказать это в общем виде, умножим обе части неравенства $a > 1$ на $a$. Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a>1$), знак неравенства не изменится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, откуда получаем $a^2 > a$.
Также можно рассмотреть разность $a^2 - a = a(a-1)$. По условию $a > 1$, значит $a$ — положительное число. Из $a > 1$ следует, что $a-1 > 0$, то есть $a-1$ также положительное число. Произведение двух положительных чисел ($a$ и $a-1$) положительно. Таким образом, $a(a-1) > 0$, откуда $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.

1.54 Подберите наименьшее натуральное число n, такое, при котором выполняется неравенство:

$2^n > 10$; $2^n > 10^2$; $2^n > 10^3$; $2^n > 10^4$; $2^n > 10^5$; $2^n > 10^6$.

(При необходимости воспользуйтесь калькулятором.)

Для решения каждого неравенства вида $2^n > 10^k$ мы можем использовать логарифмы. Прологарифмировав обе части по основанию 10, получим:

$lg(2^n) > lg(10^k)$

$n \cdot lg(2) > k$

$n > \frac{k}{lg(2)}$

Зная, что $lg(2) \approx 0.30103$, мы можем найти минимальное целое значение $n$ для каждого случая.

$2^n > 10$

В данном случае $k=1$. Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 10$.
Можно решить подбором:
$2^3 = 8$, что меньше 10.
$2^4 = 16$, что больше 10.
Таким образом, наименьшее натуральное число $n$ равно 4.
Используя логарифмы:
$n > \frac{1}{lg(2)} \approx \frac{1}{0.30103} \approx 3.3219$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 3.3219, это 4.

Ответ: n = 4.

$2^n > 10^2$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 100$.
Используя логарифмы ($k=2$):
$n > \frac{2}{lg(2)} \approx \frac{2}{0.30103} \approx 6.6438$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 6.6438, это 7.
Проверка:
$2^6 = 64$, что меньше 100.
$2^7 = 128$, что больше 100.

Ответ: n = 7.

$2^n > 10^3$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 1000$.
Используя логарифмы ($k=3$):
$n > \frac{3}{lg(2)} \approx \frac{3}{0.30103} \approx 9.9657$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 9.9657, это 10.
Проверка (также известно, что $2^{10} = 1024$):
$2^9 = 512$, что меньше 1000.
$2^{10} = 1024$, что больше 1000.

Ответ: n = 10.

$2^n > 10^4$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 10000$.
Используя логарифмы ($k=4$):
$n > \frac{4}{lg(2)} \approx \frac{4}{0.30103} \approx 13.2877$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 13.2877, это 14.
Проверка:
$2^{13} = 8192$, что меньше 10000.
$2^{14} = 16384$, что больше 10000.

Ответ: n = 14.

$2^n > 10^5$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 100000$.
Используя логарифмы ($k=5$):
$n > \frac{5}{lg(2)} \approx \frac{5}{0.30103} \approx 16.6096$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 16.6096, это 17.
Проверка:
$2^{16} = 65536$, что меньше 100000.
$2^{17} = 131072$, что больше 100000.

Ответ: n = 17.

$2^n > 10^6$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 1000000$.
Используя логарифмы ($k=6$):
$n > \frac{6}{lg(2)} \approx \frac{6}{0.30103} \approx 19.9315$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 19.9315, это 20.
Проверка:
$2^{19} = 524288$, что меньше 1000000.
$2^{20} = 1048576$, что больше 1000000.

Ответ: n = 20.

1.55 При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство:

$0,1^n < 0,01$; $0,1^n < 0,0001$; $0,1^n < 0,000001$; $0,1^n < 0,0\ldots01$?

50 цифр

$0,1^n < 0,01$

Для решения данного неравенства представим обе его части в виде степеней с основанием 10.
Число $0,1$ можно записать как $10^{-1}$, а число $0,01$ — как $10^{-2}$.
Подставив эти значения в исходное неравенство, получим:
$(10^{-1})^n < 10^{-2}$
$10^{-n} < 10^{-2}$
Так как основание степени $10 > 1$, то неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак:
$-n < -2$
Умножив обе части последнего неравенства на $-1$, необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$n > 2$
По условию, $n$ — натуральное число. Наименьшим натуральным числом, которое больше 2, является 3.
Ответ: 3.

$0,1^n < 0,0001$

Аналогично первому случаю, представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 10:
$0,1 = 10^{-1}$
$0,0001 = 10^{-4}$
Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-4}$.
Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -4$.
Умножив на $-1$, получаем: $n > 4$.
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 5.
Ответ: 5.

$0,1^n < 0,0000001$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 10. Число в правой части имеет 7 знаков после запятой, следовательно, $0,0000001 = 10^{-7}$.
Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-7}$.
Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -7$.
Умножив на $-1$, получаем: $n > 7$.
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 8.
Ответ: 8.

$0,1^n < 0,0...01 \text{ (50 цифр)}$

Правая часть неравенства — это десятичная дробь, у которой 50 цифр после запятой. Такое число можно записать как $10^{-50}$.
Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-50}$.
Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -50$.
Умножив на $-1$, получаем: $n > 50$.
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 51.
Ответ: 51.

1.56 Лист бумаги 6 раз перегнули пополам. Чему будет равна толщина сложения, если толщина листа бумаги 0,1 мм? Запишите ответ, используя степень числа 2, и вычислите значение получившегося выражения.

При каждом перегибании листа бумаги пополам количество его слоев удваивается. Если изначально лист имеет 1 слой, то после первого перегибания их станет 2, после второго — 4, после третьего — 8 и так далее. Этот процесс можно описать с помощью степени числа 2, где показатель степени равен количеству перегибаний.

После 6 перегибаний количество слоев бумаги будет равно $2^6$.

Чтобы найти общую толщину сложенного листа, нужно умножить начальную толщину одного листа на получившееся количество слоев. Начальная толщина листа по условию равна 0,1 мм.

Выражение для толщины, использующее степень числа 2, будет выглядеть следующим образом:
$0,1 \cdot 2^6$ мм.

Теперь вычислим значение этого выражения.

Сначала найдем значение $2^6$:
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.

Затем умножим полученное количество слоев на толщину одного листа:
$0,1 \cdot 64 = 6,4$ мм.

Ответ: выражение для толщины — $0,1 \cdot 2^6$ мм; итоговая толщина — 6,4 мм.

1.57 Исследуем Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям, как показано на рисунке 1.6. На каждом шаге закрашивается половина незакрашенной части.

1) Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части. Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке.

2) Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата, получившейся на десятом шаге; на сотом шаге.

3) Используйте полученный результат для вычисления значения выражения $ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^{10} $.

$ 1 - \frac{1}{2} $

$ \frac{1}{2} $

$ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

Рис. 1.6

1)

Проанализируем процесс закрашивания. Изначально у нас есть квадрат площадью 1.
На шаге 1 закрашивается $\frac{1}{2}$ площади. Закрашенная площадь: $\frac{1}{2}$. Незакрашенная: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
На шаге 2 закрашивается половина от незакрашенной части, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$. Общая закрашенная площадь: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$. Незакрашенная: $1 - (\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

Таким образом, на шаге $n$ площадь закрашенной части можно выразить двумя способами:
1. Как сумму закрашенных на каждом шаге частей: $S_n = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^n$.
2. Как разность общей площади (1) и площади незакрашенной части, которая на шаге $n$ равна $(\frac{1}{2})^n$: $S_n = 1 - (\frac{1}{2})^n$.

Запишем выражения для остальных квадратов на рисунке (шаги 3, 4 и 5).

Для 3-го квадрата (шаг 3):
Первое выражение: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3$
Второе выражение: $1 - (\frac{1}{2})^3$

Для 4-го квадрата (шаг 4):
Первое выражение: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4$
Второе выражение: $1 - (\frac{1}{2})^4$

Для 5-го квадрата (шаг 5):
Первое выражение: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5$
Второе выражение: $1 - (\frac{1}{2})^5$

Ответ: Для 3-го квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3$ и $1 - (\frac{1}{2})^3$. Для 4-го квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4$ и $1 - (\frac{1}{2})^4$. Для 5-го квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5$ и $1 - (\frac{1}{2})^5$.

2)

Используя закономерность, установленную в пункте 1, запишем выражения для десятого и сотого шагов.

На десятом шаге (n=10):
Первое выражение (сумма закрашенных частей): $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$
Второе выражение (общая площадь минус незакрашенная): $1 - (\frac{1}{2})^{10}$

На сотом шаге (n=100):
Первое выражение (сумма закрашенных частей): $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{100}$
Второе выражение (общая площадь минус незакрашенная): $1 - (\frac{1}{2})^{100}$

Ответ: На десятом шаге: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$ и $1 - (\frac{1}{2})^{10}$. На сотом шаге: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^{100}$ и $1 - (\frac{1}{2})^{100}$.

3)

Выражение $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$ представляет собой площадь закрашенной части квадрата на десятом шаге.
Из пункта 2 мы знаем, что эту же площадь можно вычислить с помощью другого, более простого выражения: $1 - (\frac{1}{2})^{10}$.
Следовательно, мы можем вычислить значение этого второго выражения, чтобы найти ответ.

Вычисление:
$1 - (\frac{1}{2})^{10} = 1 - \frac{1^{10}}{2^{10}} = 1 - \frac{1}{1024}$
$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

Ответ: $\frac{1023}{1024}$.