Номер 1.57, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.57 Исследуем Квадрат со стороной 1 м закрашивают по частям, как показано на рисунке 1.6. На каждом шаге закрашивается половина незакрашенной части.

1) Для первых двух квадратов записаны по два выражения для вычисления площади закрашенной части. Запишите соответствующие выражения для остальных квадратов на рисунке.

2) Запишите два разных выражения для вычисления площади закрашенной части квадрата, получившейся на десятом шаге; на сотом шаге.

3) Используйте полученный результат для вычисления значения выражения $ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^{10} $.

$ 1 - \frac{1}{2} $

$ \frac{1}{2} $

$ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

$ \dots $

Рис. 1.6

1)

Проанализируем процесс закрашивания. Изначально у нас есть квадрат площадью 1.
На шаге 1 закрашивается $\frac{1}{2}$ площади. Закрашенная площадь: $\frac{1}{2}$. Незакрашенная: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
На шаге 2 закрашивается половина от незакрашенной части, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$. Общая закрашенная площадь: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$. Незакрашенная: $1 - (\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

Таким образом, на шаге $n$ площадь закрашенной части можно выразить двумя способами:
1. Как сумму закрашенных на каждом шаге частей: $S_n = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^n$.
2. Как разность общей площади (1) и площади незакрашенной части, которая на шаге $n$ равна $(\frac{1}{2})^n$: $S_n = 1 - (\frac{1}{2})^n$.

Запишем выражения для остальных квадратов на рисунке (шаги 3, 4 и 5).

Для 3-го квадрата (шаг 3):
Первое выражение: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3$
Второе выражение: $1 - (\frac{1}{2})^3$

Для 4-го квадрата (шаг 4):
Первое выражение: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4$
Второе выражение: $1 - (\frac{1}{2})^4$

Для 5-го квадрата (шаг 5):
Первое выражение: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5$
Второе выражение: $1 - (\frac{1}{2})^5$

Ответ: Для 3-го квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3$ и $1 - (\frac{1}{2})^3$. Для 4-го квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4$ и $1 - (\frac{1}{2})^4$. Для 5-го квадрата: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^5$ и $1 - (\frac{1}{2})^5$.

2)

Используя закономерность, установленную в пункте 1, запишем выражения для десятого и сотого шагов.

На десятом шаге (n=10):
Первое выражение (сумма закрашенных частей): $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$
Второе выражение (общая площадь минус незакрашенная): $1 - (\frac{1}{2})^{10}$

На сотом шаге (n=100):
Первое выражение (сумма закрашенных частей): $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{100}$
Второе выражение (общая площадь минус незакрашенная): $1 - (\frac{1}{2})^{100}$

Ответ: На десятом шаге: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$ и $1 - (\frac{1}{2})^{10}$. На сотом шаге: $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + \dots + (\frac{1}{2})^{100}$ и $1 - (\frac{1}{2})^{100}$.

3)

Выражение $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + \dots + (\frac{1}{2})^{10}$ представляет собой площадь закрашенной части квадрата на десятом шаге.
Из пункта 2 мы знаем, что эту же площадь можно вычислить с помощью другого, более простого выражения: $1 - (\frac{1}{2})^{10}$.
Следовательно, мы можем вычислить значение этого второго выражения, чтобы найти ответ.

Вычисление:
$1 - (\frac{1}{2})^{10} = 1 - \frac{1^{10}}{2^{10}} = 1 - \frac{1}{1024}$
$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1024 - 1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

Ответ: $\frac{1023}{1024}$.