Номер 1.55, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.55 При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство:

$0,1^n < 0,01$; $0,1^n < 0,0001$; $0,1^n < 0,000001$; $0,1^n < 0,0\ldots01$?

50 цифр

$0,1^n < 0,01$

Для решения данного неравенства представим обе его части в виде степеней с основанием 10.
Число $0,1$ можно записать как $10^{-1}$, а число $0,01$ — как $10^{-2}$.
Подставив эти значения в исходное неравенство, получим:
$(10^{-1})^n < 10^{-2}$
$10^{-n} < 10^{-2}$
Так как основание степени $10 > 1$, то неравенство для показателей степеней будет иметь тот же знак:
$-n < -2$
Умножив обе части последнего неравенства на $-1$, необходимо изменить знак неравенства на противоположный:
$n > 2$
По условию, $n$ — натуральное число. Наименьшим натуральным числом, которое больше 2, является 3.
Ответ: 3.

$0,1^n < 0,0001$

Аналогично первому случаю, представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 10:
$0,1 = 10^{-1}$
$0,0001 = 10^{-4}$
Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-4}$.
Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -4$.
Умножив на $-1$, получаем: $n > 4$.
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 5.
Ответ: 5.

$0,1^n < 0,0000001$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 10. Число в правой части имеет 7 знаков после запятой, следовательно, $0,0000001 = 10^{-7}$.
Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-7}$.
Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -7$.
Умножив на $-1$, получаем: $n > 7$.
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 8.
Ответ: 8.

$0,1^n < 0,0...01 \text{ (50 цифр)}$

Правая часть неравенства — это десятичная дробь, у которой 50 цифр после запятой. Такое число можно записать как $10^{-50}$.
Неравенство принимает вид: $10^{-n} < 10^{-50}$.
Сравнивая показатели степеней, получаем: $-n < -50$.
Умножив на $-1$, получаем: $n > 50$.
Наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому условию, — это 51.
Ответ: 51.