Номер 1.54, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.54 Подберите наименьшее натуральное число n, такое, при котором выполняется неравенство:

$2^n > 10$; $2^n > 10^2$; $2^n > 10^3$; $2^n > 10^4$; $2^n > 10^5$; $2^n > 10^6$.

(При необходимости воспользуйтесь калькулятором.)

Для решения каждого неравенства вида $2^n > 10^k$ мы можем использовать логарифмы. Прологарифмировав обе части по основанию 10, получим:

$lg(2^n) > lg(10^k)$

$n \cdot lg(2) > k$

$n > \frac{k}{lg(2)}$

Зная, что $lg(2) \approx 0.30103$, мы можем найти минимальное целое значение $n$ для каждого случая.

$2^n > 10$

В данном случае $k=1$. Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 10$.
Можно решить подбором:
$2^3 = 8$, что меньше 10.
$2^4 = 16$, что больше 10.
Таким образом, наименьшее натуральное число $n$ равно 4.
Используя логарифмы:
$n > \frac{1}{lg(2)} \approx \frac{1}{0.30103} \approx 3.3219$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 3.3219, это 4.

Ответ: n = 4.

$2^n > 10^2$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 100$.
Используя логарифмы ($k=2$):
$n > \frac{2}{lg(2)} \approx \frac{2}{0.30103} \approx 6.6438$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 6.6438, это 7.
Проверка:
$2^6 = 64$, что меньше 100.
$2^7 = 128$, что больше 100.

Ответ: n = 7.

$2^n > 10^3$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 1000$.
Используя логарифмы ($k=3$):
$n > \frac{3}{lg(2)} \approx \frac{3}{0.30103} \approx 9.9657$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 9.9657, это 10.
Проверка (также известно, что $2^{10} = 1024$):
$2^9 = 512$, что меньше 1000.
$2^{10} = 1024$, что больше 1000.

Ответ: n = 10.

$2^n > 10^4$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 10000$.
Используя логарифмы ($k=4$):
$n > \frac{4}{lg(2)} \approx \frac{4}{0.30103} \approx 13.2877$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 13.2877, это 14.
Проверка:
$2^{13} = 8192$, что меньше 10000.
$2^{14} = 16384$, что больше 10000.

Ответ: n = 14.

$2^n > 10^5$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 100000$.
Используя логарифмы ($k=5$):
$n > \frac{5}{lg(2)} \approx \frac{5}{0.30103} \approx 16.6096$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 16.6096, это 17.
Проверка:
$2^{16} = 65536$, что меньше 100000.
$2^{17} = 131072$, что больше 100000.

Ответ: n = 17.

$2^n > 10^6$

Требуется найти наименьшее натуральное $n$, такое что $2^n > 1000000$.
Используя логарифмы ($k=6$):
$n > \frac{6}{lg(2)} \approx \frac{6}{0.30103} \approx 19.9315$.
Наименьшее натуральное число $n$, большее 19.9315, это 20.
Проверка:
$2^{19} = 524288$, что меньше 1000000.
$2^{20} = 1048576$, что больше 1000000.

Ответ: n = 20.