Номер 1.51, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.51, страница 19.

Условие.

1.51 1) Из выражений $(3,4 - 2,8)^3$, $-(2,8 - 3,4)^3$, $-(3,4 - 2,8)^3$ выберите те те, значения которых противоположны значению выражения $(2,8 - 3,4)^3$; равны ему.

2) Из выражений $-(23 - 1,7)^2$, $-(1,7 - 23)^2$, $(1,7 - 23)^2$, $-(23 + 1,7)^2$ выберите такое, значение которого равно значению выражения $(23 - 1,7)^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Требуется из выражений $(3,4 - 2,8)^3$, $-(2,8 - 3,4)^3$, $-(3,4 - 2,8)^3$ выбрать те, значения которых противоположны и равны значению выражения $(2,8 - 3,4)^3$.

Для решения воспользуемся свойством нечетной степени (в данном случае, куба): для любого числа $a$ справедливо равенство $(-a)^3 = -a^3$. Это означает, что при возведении в куб знак "минус" можно вынести за скобки.

Проанализируем каждое предложенное выражение:

1. Выражение $(3,4 - 2,8)^3$.
Заметим, что основание степени можно преобразовать: $3,4 - 2,8 = -(2,8 - 3,4)$.
Тогда, используя свойство нечетной степени, получаем:
$(3,4 - 2,8)^3 = (-(2,8 - 3,4))^3 = -(2,8 - 3,4)^3$.
Значение этого выражения противоположно исходному.

2. Выражение $-(2,8 - 3,4)^3$.
По определению, это выражение является противоположным исходному $(2,8 - 3,4)^3$.

3. Выражение $-(3,4 - 2,8)^3$.
Из пункта 1 мы знаем, что $(3,4 - 2,8)^3 = -(2,8 - 3,4)^3$.
Подставим это в наше выражение: $-(3,4 - 2,8)^3 = -(-(2,8 - 3,4)^3) = (2,8 - 3,4)^3$.
Значение этого выражения равно исходному.

Ответ: Противоположные значения имеют выражения $(3,4 - 2,8)^3$ и $-(2,8 - 3,4)^3$. Равное значение имеет выражение $-(3,4 - 2,8)^3$.

2)

Требуется из выражений $-(23 - 1,7)^2$, $-(1,7 - 23)^2$, $(1,7 - 23)^2$, $-(23 + 1,7)^2$ выбрать такое, значение которого равно значению выражения $(23 - 1,7)^2$.

Для решения воспользуемся свойством четной степени (в данном случае, квадрата): для любого числа $a$ справедливо равенство $(-a)^2 = a^2$. Это означает, что квадраты противоположных чисел равны.

Основание степени в исходном выражении равно $23 - 1,7$. Противоположное ему выражение: $-(23 - 1,7) = 1,7 - 23$.
Следовательно, согласно свойству четной степени: $(23 - 1,7)^2 = (1,7 - 23)^2$.

Теперь рассмотрим предложенные варианты и найдем среди них равное $(23 - 1,7)^2$.

• Выражение $-(23 - 1,7)^2$ не равно исходному, так как имеет противоположный знак.

• Выражение $-(1,7 - 23)^2$. Так как $(1,7 - 23)^2 = (23 - 1,7)^2$, то это выражение равно $-(23 - 1,7)^2$ и не равно исходному.

• Выражение $(1,7 - 23)^2$. Как мы показали выше, это выражение равно исходному.

• Выражение $-(23 + 1,7)^2$ не равно исходному, так как основания степеней $23 + 1,7$ и $23 - 1,7$ не равны и не противоположны.

Ответ: $(1,7 - 23)^2$.