Номер 1.53, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.53, страница 19.

Условие.

1.53 Сравните числа $a$ и $a^2$, если известно, что:

а) $a < 0$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a > 1$.

Подсказка. Проведите числовой эксперимент.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Если $a < 0$, то $a$ — отрицательное число. Квадрат любого действительного числа, отличного от нуля, является положительным числом, поэтому $a^2$ будет положительным. Любое положительное число ($a^2$) всегда больше любого отрицательного числа ($a$). Следовательно, $a^2 > a$.
Проведем числовой эксперимент, как предложено в подсказке. Возьмем $a = -2$. Тогда $a^2 = (-2)^2 = 4$. Сравнивая, получаем $-2 < 4$, то есть $a < a^2$.
Другой способ — рассмотреть разность $a^2 - a = a(a-1)$. По условию $a < 0$. Если $a$ — отрицательное число, то $a-1$ также является отрицательным числом. Произведение двух отрицательных чисел ($a$ и $a-1$) всегда положительно. Таким образом, $a(a-1) > 0$, что означает $a^2 - a > 0$, и из этого следует, что $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.

б) Если $0 < a < 1$, то $a$ — это положительное число, меньшее единицы (например, правильная дробь). При умножении такого числа на само себя результат уменьшается.
Числовой эксперимент: пусть $a = 0.5$ (или $1/2$). Тогда $a^2 = (0.5)^2 = 0.25$ (или $(1/2)^2 = 1/4$). Сравнивая, получаем $0.5 > 0.25$, то есть $a > a^2$.
Чтобы доказать это в общем виде, умножим обе части неравенства $a < 1$ на $a$. Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a>0$), знак неравенства не изменится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, откуда получаем $a^2 < a$.
Ответ: $a > a^2$.

в) Если $a > 1$, то $a$ — это число, большее единицы. При возведении такого числа в квадрат, оно увеличивается.
Числовой эксперимент: пусть $a = 2$. Тогда $a^2 = 2^2 = 4$. Сравнивая, получаем $2 < 4$, то есть $a < a^2$.
Чтобы доказать это в общем виде, умножим обе части неравенства $a > 1$ на $a$. Поскольку по условию $a$ — положительное число ($a>1$), знак неравенства не изменится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, откуда получаем $a^2 > a$.
Также можно рассмотреть разность $a^2 - a = a(a-1)$. По условию $a > 1$, значит $a$ — положительное число. Из $a > 1$ следует, что $a-1 > 0$, то есть $a-1$ также положительное число. Произведение двух положительных чисел ($a$ и $a-1$) положительно. Таким образом, $a(a-1) > 0$, откуда $a^2 > a$.
Ответ: $a < a^2$.