Номер 1.41, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 1.3. Степень с натуральным показателем. Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.41, страница 17.

Условие.

1.41 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Какое из неравенств верно?

1) $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$

2) $\frac{(-4)^7}{(-10)^9} < 0$

3) $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$

4) $\frac{(-2)^5}{(-3)^{10}} > 0$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для определения верного неравенства необходимо проанализировать знак каждой дроби. Для этого воспользуемся правилами возведения отрицательных чисел в степень:

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, всегда будет положительным. Например, $(-a)^{2n} > 0$ для любого $a > 0$.
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, всегда будет отрицательным. Например, $(-a)^{2n+1} < 0$ для любого $a > 0$.

Проверим каждое неравенство по очереди.

1) $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$
Анализируем числитель: $(-5)^{12}$. Основание $-5$ — отрицательное, показатель степени $12$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-5)^{12} > 0$.
Анализируем знаменатель: $(-6)^{15}$. Основание $-6$ — отрицательное, показатель степени $15$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-6)^{15} < 0$.
Таким образом, мы делим положительное число на отрицательное, что дает в результате отрицательное число: $\frac{(+)}{(-)} < 0$.
Неравенство $\frac{(-5)^{12}}{(-6)^{15}} > 0$ является ложным.
Ответ: неверно.

2) $\frac{(-4)^7}{(-10)^9} < 0$
Анализируем числитель: $(-4)^7$. Основание $-4$ — отрицательное, показатель степени $7$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-4)^7 < 0$.
Анализируем знаменатель: $(-10)^9$. Основание $-10$ — отрицательное, показатель степени $9$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-10)^9 < 0$.
Таким образом, мы делим отрицательное число на отрицательное, что дает в результате положительное число: $\frac{(-)}{(-)} > 0$.
Неравенство $\frac{(-4)^7}{(-10)^9} < 0$ является ложным.
Ответ: неверно.

3) $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$
Анализируем числитель: $(-1)^{20}$. Основание $-1$ — отрицательное, показатель степени $20$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-1)^{20} > 0$.
Анализируем знаменатель: $(-8)^{14}$. Основание $-8$ — отрицательное, показатель степени $14$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-8)^{14} > 0$.
Таким образом, мы делим положительное число на положительное, что дает в результате положительное число: $\frac{(+)}{(+)} > 0$.
Неравенство $\frac{(-1)^{20}}{(-8)^{14}} > 0$ является истинным.
Ответ: верно.

4) $\frac{(-2)^5}{(-3)^{10}} > 0$
Анализируем числитель: $(-2)^5$. Основание $-2$ — отрицательное, показатель степени $5$ — нечетный. Следовательно, результат будет отрицательным: $(-2)^5 < 0$.
Анализируем знаменатель: $(-3)^{10}$. Основание $-3$ — отрицательное, показатель степени $10$ — четный. Следовательно, результат будет положительным: $(-3)^{10} > 0$.
Таким образом, мы делим отрицательное число на положительное, что дает в результате отрицательное число: $\frac{(-)}{(+)} < 0$.
Неравенство $\frac{(-2)^5}{(-3)^{10}} > 0$ является ложным.
Ответ: неверно.

Итак, единственное верное неравенство находится под номером 3.