Номер 1.83, страница 29 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Последняя цифра степени (Узнайте больше). Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.83, страница 29.

Условие.

1.83 Сформулируйте условие, при котором числа $4^m$ и $4^n$, где $m \in N, n \in N, m \neq n$, оканчиваются одной и той же цифрой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы числа $4^m$ и $4^n$ оканчивались на одну и ту же цифру, необходимо, чтобы их остатки от деления на 10 были равны. Это можно записать с помощью сравнения по модулю 10: $4^m \equiv 4^n \pmod{10}$.

Рассмотрим, на какие цифры оканчиваются начальные степени числа 4: $4^1 = 4$; $4^2 = 16$ (оканчивается на 6); $4^3 = 64$ (оканчивается на 4); $4^4 = 256$ (оканчивается на 6); $4^5 = 1024$ (оканчивается на 4).

Можно заметить закономерность: последняя цифра степеней числа 4 циклически повторяется. Если показатель степени — нечетное число ($k = 1, 3, 5, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на 4. Если же показатель степени — четное число ($k = 2, 4, 6, \dots$), то число $4^k$ оканчивается на 6.

Следовательно, для того чтобы числа $4^m$ и $4^n$ (где $m, n \in \mathbb{N}$, $m \neq n$) оканчивались на одну и ту же цифру, их показатели степени $m$ и $n$ должны иметь одинаковую четность. То есть, $m$ и $n$ должны быть либо оба четными, либо оба нечетными.

Это условие можно доказать и более строго. Пусть для определенности $m > n$. Условие $4^m \equiv 4^n \pmod{10}$ эквивалентно $4^m - 4^n \equiv 0 \pmod{10}$. Вынесем общий множитель: $4^n(4^{m-n} - 1) \equiv 0 \pmod{10}$.

Это означает, что произведение $4^n(4^{m-n} - 1)$ должно делиться на 10, а значит, оно должно делиться на 2 и на 5.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), $4^n$ всегда является четным числом, поэтому произведение $4^n(4^{m-n} - 1)$ всегда делится на 2.

Чтобы произведение делилось на 5, один из множителей должен делиться на 5. Число $4^n$ не делится на 5 ни при каком натуральном $n$. Следовательно, на 5 должен делиться множитель $(4^{m-n} - 1)$.

Запишем это в виде сравнения по модулю 5:

$4^{m-n} - 1 \equiv 0 \pmod{5}$

$4^{m-n} \equiv 1 \pmod{5}$

Найдем, при каких показателях степени $k$ выполняется условие $4^k \equiv 1 \pmod{5}$. Проверяем: $4^1 \equiv 4 \pmod{5}$; $4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}$. Так как $4^2 \equiv 1 \pmod{5}$, то для любого целого $j \ge 1$ имеем $(4^2)^j = 4^{2j} \equiv 1^j \equiv 1 \pmod{5}$. То есть, $4^k \equiv 1 \pmod{5}$ тогда и только тогда, когда показатель $k$ является четным числом.

В нашем случае $k = m-n$. Значит, разность $m-n$ должна быть четным числом. Если разность двух натуральных чисел является четным числом, то эти числа имеют одинаковую четность.

Ответ: Числа $4^m$ и $4^n$ оканчиваются на одну и ту же цифру при условии, что показатели степени $m$ и $n$ имеют одинаковую четность, то есть являются либо оба четными, либо оба нечетными.