Номер 1.78, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Последняя цифра степени (Узнайте больше). Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.78, страница 28.

Условие.

1.78 Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 3? Какой цифрой оканчивается число: $3^{10}$; $3^{15}$; $3^{120}$; $3^{126}$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы определить, какими цифрами могут оканчиваться степени числа 3, рассмотрим несколько первых степеней:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

Как видно, последние цифры степеней числа 3 повторяются с определенной периодичностью. Последовательность последних цифр: 3, 9, 7, 1. Затем она начинается заново. Длина этого цикла равна 4. Таким образом, последняя цифра степени числа 3 зависит от того, какой остаток дает показатель степени при делении на 4.

• Если показатель степени при делении на 4 дает остаток 1 (например, 1, 5, 9, ...), то число оканчивается на 3.
• Если остаток равен 2 (например, 2, 6, 10, ...), то число оканчивается на 9.
• Если остаток равен 3 (например, 3, 7, 11, ...), то число оканчивается на 7.
• Если показатель степени делится на 4 без остатка (остаток 0, например, 4, 8, 12, ...), то число оканчивается на 1.

Ответ на первую часть вопроса: числа, получающиеся при возведении в степень числа 3, могут оканчиваться цифрами 3, 9, 7 или 1.

Теперь определим последнюю цифру для каждого из предложенных чисел.

$3^{10}$
Найдем остаток от деления показателя степени 10 на 4: $10 \div 4 = 2$ с остатком 2. Остаток 2 соответствует второй цифре в нашей последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 9.

$3^{15}$
Найдем остаток от деления показателя степени 15 на 4: $15 \div 4 = 3$ с остатком 3. Остаток 3 соответствует третьей цифре в последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 7.

$3^{120}$
Найдем остаток от деления показателя степени 120 на 4. Так как 120 делится на 4 без остатка ($120 = 4 \cdot 30$), остаток равен 0. Это соответствует четвертой цифре в последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 1.

$3^{126}$
Найдем остаток от деления показателя степени 126 на 4: $126 = 4 \cdot 31 + 2$. Остаток равен 2. Это соответствует второй цифре в последовательности (3, 9, 7, 1).
Ответ: 9.