Номер 1.81, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Последняя цифра степени (Узнайте больше). Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.81, страница 28.

Условие.

1.81 Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой. Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Докажите, что числа $3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$ оканчиваются одной и той же цифрой.

Чтобы определить последнюю цифру степени числа 3, найдём закономерность в последних цифрах его натуральных степеней:

$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
$3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
$3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Видно, что последние цифры степеней числа 3 циклически повторяются с периодом 4: (3, 9, 7, 1). Это означает, что последняя цифра числа $3^n$ зависит от остатка от деления показателя степени $n$ на 4.

• Если показатель степени $n$ при делении на 4 дает остаток 1 (то есть $n \equiv 1 \pmod{4}$), то последняя цифра – 3.
• Если остаток равен 2 ($n \equiv 2 \pmod{4}$), то последняя цифра – 9.
• Если остаток равен 3 ($n \equiv 3 \pmod{4}$), то последняя цифра – 7.
• Если остаток равен 0 ($n \equiv 0 \pmod{4}$), то последняя цифра – 1.

Теперь определим остаток от деления на 4 для каждого из показателей: 33, 333 и 3333. Для нахождения остатка от деления числа на 4 достаточно рассмотреть число, образованное его двумя последними цифрами.

Для показателя 33: $33 = 4 \times 8 + 1$. Остаток равен 1. Следовательно, $33 \equiv 1 \pmod{4}$.
Для показателя 333: последние две цифры образуют число 33. При делении 33 на 4 остаток равен 1. Следовательно, $333 \equiv 1 \pmod{4}$.
Для показателя 3333: последние две цифры образуют число 33. При делении 33 на 4 остаток равен 1. Следовательно, $3333 \equiv 1 \pmod{4}$.

Поскольку все три показателя степени (33, 333, 3333) дают одинаковый остаток 1 при делении на 4, все три числа ($3^{33}$, $3^{333}$ и $3^{3333}$) будут оканчиваться на одну и ту же цифру. Эта цифра соответствует первому члену цикла, то есть цифре 3.

Ответ: Все три числа оканчиваются на цифру 3, следовательно, они оканчиваются одной и той же цифрой.

Укажите еще какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой.

Как было установлено, степень числа 3 оканчивается на цифру 3, если её показатель при делении на 4 дает в остатке 1. Чтобы найти другую такую степень, нужно выбрать любой другой показатель $n$, для которого выполняется условие $n \equiv 1 \pmod{4}$.

Например, можно взять $n=5$, так как $5 = 4 \times 1 + 1$. Число $3^5 = 243$ оканчивается на 3. Другими примерами могут служить $3^9$, $3^{13}$ или $3^{4k+1}$ для любого натурального $k$.

Ответ: $3^5$.