Номер 1.82, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Последняя цифра степени (Узнайте больше). Глава 1. Дроби и проценты - номер 1.82, страница 28.

Условие.

1.82 Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой. Приведите ещё примеры таких чисел.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи необходимо найти числа, последняя цифра которых не изменяется при возведении в любую натуральную степень.

Последняя цифра результата возведения числа в степень зависит только от последней цифры самого этого числа. Обозначим последнюю цифру искомого числа $N$ как $d$. Условие задачи означает, что для любого натурального показателя степени $k \ge 1$ последняя цифра числа $N^k$ должна быть равна $d$.

Это условие сводится к тому, что последняя цифра квадрата $d^2$ должна совпадать с самой цифрой $d$. Если последняя цифра $d^2$ равна $d$, то и последняя цифра $d^3 = d^2 \cdot d$ будет равна последней цифре $d \cdot d$, то есть $d$, и так далее для всех последующих степеней. Это легко доказать по индукции.

Проверим все цифры от 0 до 9 на выполнение этого свойства:

• $d=0$: $0^2=0$. Последняя цифра 0. Свойство выполняется.
• $d=1$: $1^2=1$. Последняя цифра 1. Свойство выполняется.
• $d=2$: $2^2=4$. Последняя цифра 4, что не равно 2.
• $d=3$: $3^2=9$. Последняя цифра 9, что не равно 3.
• $d=4$: $4^2=16$. Последняя цифра 6, что не равно 4.
• $d=5$: $5^2=25$. Последняя цифра 5. Свойство выполняется.
• $d=6$: $6^2=36$. Последняя цифра 6. Свойство выполняется.
• $d=7$: $7^2=49$. Последняя цифра 9, что не равно 7.
• $d=8$: $8^2=64$. Последняя цифра 4, что не равно 8.
• $d=9$: $9^2=81$. Последняя цифра 1, что не равно 9.

Таким образом, цифры, которые сохраняются при возведении в любую степень, — это 0, 1, 5 и 6. Поскольку в задаче требуется найти число, отличное от 0 и 1, нам подходят любые числа, оканчивающиеся на 5 или 6.

Назовите какое-нибудь число, отличное от 0 и 1, любая степень которого оканчивается одной и той же цифрой.

Таким числом является, например, 5.
Проверка: $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$. Все степени числа 5 оканчиваются на цифру 5.

Приведите ещё примеры таких чисел.

Любое другое число, оканчивающееся на 5 или 6, также удовлетворяет этому свойству.
Примеры: 6, 15, 16, 25, 36, 105, 216.
Например, для числа 16: $16^1=16$, $16^2=256$, $16^3=4096$. Все степени оканчиваются на 6.

Ответ: Числом, удовлетворяющим условию, является, например, 5. Другие примеры таких чисел: 6, 15, 16, 25, 36, 105.