Номер 2.67, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.67 Призы на сумму 12 400 р. были присуждены трём призёрам соревнования так, что сумма, полученная вторым, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. В то же время сумма, полученная вторым, относится к сумме, полученной третьим, как $1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Сколько рублей получил каждый призёр?

Для решения задачи введем переменные. Пусть:

• $x$ — сумма, полученная первым призёром, в рублях;
• $y$ — сумма, полученная вторым призёром, в рублях;
• $z$ — сумма, полученная третьим призёром, в рублях.

Согласно условию, общая сумма призов составляет 12 400 рублей. Составим первое уравнение:

$x + y + z = 12400$

Известно, что сумма, полученная вторым призёром, составила $\frac{2}{3}$ от суммы, полученной первым. Это дает нам второе уравнение:

$y = \frac{2}{3}x$

Также дано, что сумма, полученная вторым, относится к сумме, полученной третьим, как $1\frac{1}{3} : \frac{4}{5}$. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{y}{z} = \frac{1\frac{1}{3}}{\frac{4}{5}}$

Упростим правую часть этого выражения. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

Теперь выполним деление дробей:

$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{3}$

Таким образом, мы получаем соотношение $\frac{y}{z} = \frac{5}{3}$. Из этого соотношения выразим $z$ через $y$:

$z = \frac{3}{5}y$

Теперь у нас есть система из трех зависимостей. Выразим все переменные через одну, например, через $x$. У нас уже есть $y = \frac{2}{3}x$. Подставим это выражение в формулу для $z$:

$z = \frac{3}{5}y = \frac{3}{5} \left( \frac{2}{3}x \right) = \frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x$

Теперь мы можем подставить выражения для $y$ и $z$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x + \frac{2}{3}x + \frac{2}{5}x = 12400$

Чтобы решить это уравнение, приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.

$\frac{15}{15}x + \frac{10}{15}x + \frac{6}{15}x = 12400$

$\frac{15 + 10 + 6}{15}x = 12400$

$\frac{31}{15}x = 12400$

Найдем значение $x$:

$x = 12400 \cdot \frac{15}{31}$

Поскольку $124 \div 31 = 4$, то $12400 \div 31 = 400$.

$x = 400 \cdot 15 = 6000$

Итак, первый призёр получил 6000 рублей.

Теперь найдем, сколько получили второй и третий призёры:

Сумма второго призёра: $y = \frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \cdot 6000 = 2 \cdot 2000 = 4000$ рублей.

Сумма третьего призёра: $z = \frac{2}{5}x = \frac{2}{5} \cdot 6000 = 2 \cdot 1200 = 2400$ рублей.

Проверим правильность решения, сложив все суммы:

$6000 + 4000 + 2400 = 12400$ рублей. Сумма сходится.

Ответ: Первый призёр получил 6000 рублей, второй – 4000 рублей, третий – 2400 рублей.