Номер 2.66, страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.66 Периметр треугольника $ABC$ равен 15,5 см. Найдите длины сторон этого треугольника, если $AB$ относится к $BC$ как $3:5$, а $BC$ относится к $AC$ как $2:3$.

Обозначим длины сторон треугольника как $AB$, $BC$ и $AC$. Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

По условию задачи, периметр равен $15,5$ см, следовательно: $AB + BC + AC = 15,5$

Также из условия известны соотношения сторон: 1) $AB$ относится к $BC$ как $3$ к $5$, что можно записать в виде пропорции: $\frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$. 2) $BC$ относится к $AC$ как $2$ к $3$, что можно записать в виде пропорции: $\frac{BC}{AC} = \frac{2}{3}$.

Для решения задачи необходимо выразить длины всех сторон через одну общую часть. Для этого приведем два данных отношения к единому виду $AB : BC : AC$. Мы видим, что сторона $BC$ является общей для обоих отношений.

Приведем отношения к общему значению для части, соответствующей $BC$. Наименьшее общее кратное для $5$ и $2$ (значения, которым пропорциональна $BC$ в двух отношениях) равно $10$.

Домножим первое отношение на $2$: $AB : BC = 3 : 5 = (3 \cdot 2) : (5 \cdot 2) = 6 : 10$

Домножим второе отношение на $5$: $BC : AC = 2 : 3 = (2 \cdot 5) : (3 \cdot 5) = 10 : 15$

Теперь мы можем объединить эти отношения в одно: $AB : BC : AC = 6 : 10 : 15$

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда длины сторон равны: $AB = 6x$ $BC = 10x$ $AC = 15x$

Подставим эти выражения в формулу периметра: $6x + 10x + 15x = 15,5$

Решим полученное уравнение: $31x = 15,5$ $x = \frac{15,5}{31}$ $x = 0,5$

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем длины каждой стороны: $AB = 6 \cdot 0,5 = 3$ см $BC = 10 \cdot 0,5 = 5$ см $AC = 15 \cdot 0,5 = 7,5$ см

Ответ: длины сторон треугольника равны $3$ см, $5$ см и $7,5$ см.