Страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных углов?

Координатная плоскость делится осями координат (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$) на четыре координатных угла, которые также называют координатными четвертями или квадрантами.

Биссектриса I и III координатных углов — это геометрическое место точек, равноудаленных от осей координат и расположенных в этих четвертях.

Рассмотрим произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, которая лежит на этой биссектрисе.

• Расстояние от точки $M(x, y)$ до оси абсцисс ($Ox$) равно модулю ее ординаты, то есть $|y|$.
• Расстояние от точки $M(x, y)$ до оси ординат ($Oy$) равно модулю ее абсциссы, то есть $|x|$.

По определению биссектрисы, эти расстояния должны быть равны:

$|y| = |x|$

Это равенство является общим для биссектрис как I и III, так и II и IV координатных углов. Чтобы определить, какое именно равенство описывает биссектрису I и III углов, рассмотрим знаки координат в этих четвертях:

• В I координатном углу (первой четверти) обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. В этом случае равенство $|y| = |x|$ раскрывается как $y = x$.
• В III координатном углу (третьей четверти) обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$. В этом случае равенство $|y| = |x|$ раскрывается как $-y = -x$, что после умножения на $-1$ дает $y = x$.

Таким образом, для всех точек, лежащих на биссектрисе I и III координатных углов (включая начало координат, где $0=0$), выполняется одно и то же равенство.

Альтернативно, можно рассмотреть эту биссектрису как прямую, проходящую через начало координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси $Ox$. Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$. Так как прямая проходит через начало координат, $b=0$. Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона: $k = \tan(45^\circ) = 1$. Следовательно, уравнение прямой: $y = 1 \cdot x$ или $y = x$.

Ответ: $y = x$

5 Каким равенством задаётся биссектриса II и IV координатных углов?

Координатная плоскость делится осями координат Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат) на четыре координатных угла или квадранта. Биссектрисой координатного угла является прямая, проходящая через начало координат и делящая этот угол пополам. Основное свойство точек, лежащих на биссектрисе координатного угла, заключается в том, что они равноудалены от осей координат.

Для любой точки $M(x, y)$ расстояние до оси Ox равно $|y|$, а расстояние до оси Oy равно $|x|$. Следовательно, для любой точки на биссектрисе координатного угла должно выполняться равенство $|x| = |y|$.

Рассмотрим это условие для точек, лежащих во II и IV координатных углах.

1. Во II координатном углу абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$). Раскрывая модули в равенстве $|x| = |y|$, получаем:
$-x = y$

2. В IV координатном углу абсцисса $x$ положительна ($x > 0$), а ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Раскрывая модули в равенстве $|x| = |y|$, получаем:
$x = -y$

Оба полученных уравнения, $y = -x$ и $x = -y$, являются эквивалентными. Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является биссектрисой для II и IV координатных углов. Его также можно записать в виде $x + y = 0$.

Альтернативно, можно найти уравнение этой прямой через ее угловой коэффициент. Биссектриса II координатного угла делит его (угол от $90°$ до $180°$) пополам, то есть она образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $90° + \frac{90°}{2} = 135°$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент.
$k = \tan(135°) = \tan(180° - 45°) = -\tan(45°) = -1$.
Таким образом, уравнение прямой: $y = -1 \cdot x$, или $y = -x$.

Ответ: Биссектриса II и IV координатных углов задаётся равенством $y = -x$.

6 Как называется график зависимости $y = x^2$? Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Постройте этот график и опишите его свойства.

Название графика

График квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ называется параболой. В частном случае, для функции $y = x^2$, график также является параболой.

Ответ: График зависимости $y = x^2$ называется параболой.

Координаты точек, принадлежащих графику

Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику, нужно выбрать несколько значений для аргумента $x$ и вычислить соответствующие значения функции $y$. Составим таблицу значений:

Таким образом, мы получили следующие точки: $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.

Ответ: Примеры координат точек, принадлежащих графику: $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.

Построение графика

Для построения графика нанесём найденные точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y=x^2$ является параболой с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

Свойства графика

Основные свойства функции $y=x^2$ и её графика:

• Область определения функции: все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений функции: все неотрицательные числа, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Нули функции: $y = 0$ только при $x = 0$. График пересекает оси координат в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума. Максимального значения функция не имеет.
• Вершина параболы: находится в точке $(0, 0)$.
• Направление ветвей: ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$, функция чётная, симметрична относительно оси $Oy$, убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$, имеет минимум $y_{min}=0$ в точке $x=0$.

7 Изобразите на координатной плоскости график зависимости $y = x^3$.

Для построения графика функции $y = x^3$ (кубической параболы) необходимо выполнить несколько шагов: проанализировать свойства функции, найти координаты нескольких точек графика, нанести их на координатную плоскость и соединить плавной линией.

1. Анализ функции и составление таблицы значений

Проанализируем основные свойства функции $y = x^3$:
- Область определения: все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).
- Область значений: все действительные числа ($E(y) = (-\infty; +\infty)$).
- Симметрия: Функция является нечётной, так как для любого $x$ выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно начала координат — точки $(0;0)$.
- Точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y=0^3=0$. График проходит через начало координат $(0;0)$.
- Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Чтобы построить график, вычислим значения $y$ для нескольких значений $x$ и занесём их в таблицу.

2. Построение графика

Нанесём вычисленные точки на координатную плоскость. Затем, учитывая свойства функции (симметрию относительно начала координат и возрастание), соединим эти точки плавной кривой. Эта кривая и будет являться графиком функции $y = x^3$.

Ответ:

8 Изобразите на координатной плоскости график зависимости $y = |x|$.

Для построения графика функции $y = |x|$ необходимо рассмотреть два случая, исходя из определения модуля (абсолютной величины).

Определение модуля числа $x$:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, наша функция $y = |x|$ является кусочно-заданной, и её график состоит из двух частей:

1. При $x \ge 0$ функция принимает вид $y = x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Она проходит через начало координат (0,0) и, например, точку (1,1).
2. При $x < 0$ функция принимает вид $y = -x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой второго координатного угла. Она также проходит через начало координат (0,0) и, например, точку (-1,1).

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их, мы получим искомый график.

Описание графика:
График функции $y=|x|$ состоит из двух лучей, исходящих из начала координат (точки (0,0)).

• Один луч совпадает с прямой $y=x$ в первой координатной четверти ($x \ge 0$).
• Второй луч совпадает с прямой $y=-x$ во второй координатной четверти ($x < 0$).

Вместе они образуют фигуру, похожую на букву "V", с вершиной в начале координат. График симметричен относительно оси ординат (оси OY), так как функция $y = |x|$ является четной ($|-x| = |x|$). Весь график лежит в верхней полуплоскости, так как $y = |x| \ge 0$ для любого $x$.

Ответ: График зависимости $y=|x|$ представляет собой объединение двух лучей, выходящих из точки (0,0): луча $y=x$ при $x \ge 0$ и луча $y=-x$ при $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в начале координат.

1 Изобразите на координатной прямой промежуток:

а) $x > 3$;

б) $x \leq -1$;

в) $-5 \leq x \leq 2$;

г) $0,5 < x < 1,5$.

Для изображения числовых промежутков на координатной прямой используются следующие правила:

• Если неравенство строгое (используются знаки $>$ или $<$), то точка на прямой, соответствующая границе промежутка, изображается «выколотой» (в виде пустого кружка). Это означает, что сама точка не входит в промежуток. В записи промежутка для таких границ используются круглые скобки $()$.
• Если неравенство нестрогое (используются знаки $\ge$ или $\le$), то точка на прямой изображается «закрашенной» (в виде сплошного кружка). Это означает, что сама точка входит в промежуток. В записи промежутка для таких границ используются квадратные скобки $[]$.
• Область, соответствующая множеству решений неравенства, заштриховывается.

а) $x > 3$

Это строгое неравенство. Оно означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше 3, но не равно 3. На координатной прямой мы отмечаем точку 3 выколотым кружком и заштриховываем всю область справа от этой точки, так как нас интересуют все числа, которые больше 3. Штриховка идет до $+\infty$ (плюс бесконечности).

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) $x \le -1$

Это нестрогое неравенство. Оно означает, что $x$ может быть любым числом, которое меньше или равно -1. На координатной прямой мы отмечаем точку -1 закрашенным кружком, так как она входит в промежуток. Затем заштриховываем всю область слева от этой точки, так как нас интересуют все числа, которые меньше -1. Штриховка идет от $-\infty$ (минус бесконечности).

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

в) $-5 \le x \le 2$

Это двойное нестрогое неравенство. Оно задает отрезок, то есть все числа, которые находятся между -5 и 2, включая сами эти числа. На координатной прямой мы отмечаем точки -5 и 2 закрашенными кружками и заштриховываем область между ними.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.

г) $0,5 < x < 1,5$

Это двойное строгое неравенство. Оно задает интервал, то есть все числа, которые находятся строго между 0,5 и 1,5. Сами числа 0,5 и 1,5 в промежуток не входят. На координатной прямой мы отмечаем точки 0,5 и 1,5 выколотыми кружками и заштриховываем область между ними.

Ответ: $x \in (0,5; 1,5)$.

2 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $x = -2;$

б) $y = 4;$

в) $x \le 1;$

г) $y \ge 0;$

д) $1,5 \le y \le 3,5;$

е) $-2 \le x \le 1 \text{ и } 2 \le y \le 4.$

а) Условие $x = -2$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) всегда равна -2. При этом ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом. Геометрически это множество точек образует вертикальную прямую, которая параллельна оси ординат ($Oy$) и проходит через точку с координатами $(-2, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

б) Условие $y = 4$ задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) всегда равна 4, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Это множество точек образует горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$) и проходящую через точку с координатами $(0, 4)$ на оси ординат.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 4)$.

в) Неравенство $x \le 1$ описывает все точки на координатной плоскости, абсцисса которых меньше или равна 1. Сначала рассмотрим граничное условие $x = 1$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(1, 0)$. Неравенству $x \le 1$ удовлетворяют все точки, лежащие на этой прямой, а также все точки, лежащие левее этой прямой. Таким образом, искомое множество — это полуплоскость.

Ответ: Полуплоскость, расположенная слева от прямой $x=1$, включая саму прямую.

г) Неравенство $y \ge 0$ описывает все точки, ордината которых больше или равна 0. Граничное условие $y = 0$ — это уравнение оси абсцисс ($Ox$). Неравенству $y \ge 0$ удовлетворяют все точки, лежащие на оси $Ox$, а также все точки, расположенные выше этой оси. Это так называемая верхняя полуплоскость.

Ответ: Верхняя полуплоскость, ограниченная снизу осью $Ox$, включая саму ось.

д) Двойное неравенство $1,5 \le y \le 3,5$ означает, что ордината $y$ каждой точки множества должна быть не меньше 1,5 и не больше 3,5. Это множество ограничено двумя горизонтальными прямыми: $y = 1,5$ (нижняя граница) и $y = 3,5$ (верхняя граница). Поскольку неравенства нестрогие, точки на самих прямых также входят в искомое множество. В результате получается бесконечная полоса между этими прямыми.

Ответ: Горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y = 1,5$ и $y = 3,5$, включая эти прямые.

е) Эта система из двух двойных неравенств задает множество точек, координаты которых удовлетворяют всем четырем условиям одновременно: $x \ge -2$, $x \le 1$, $y \ge 2$ и $y \le 4$. Неравенство $-2 \le x \le 1$ задает вертикальную полосу между прямыми $x = -2$ и $x = 1$ (включая границы). Неравенство $2 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y = 2$ и $y = 4$ (включая границы). Искомое множество точек является пересечением этих двух полос, что образует прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник, ограниченный прямыми $x = -2$, $x = 1$, $y = 2$ и $y = 4$, включая его стороны. Вершины этого прямоугольника имеют координаты $(-2, 2)$, $(1, 2)$, $(1, 4)$ и $(-2, 4)$.

3 Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям $y = x^2$ и $-2 \le x \le 2$.

Для того чтобы изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным условиям, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проанализировать первое условие: $y = x^2$. Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$.
2. Проанализировать второе условие: $-2 \le x \le 2$. Это неравенство означает, что нас интересует не вся парабола, а только ее часть, для которой абсцисса (координата $x$) находится в промежутке от -2 до 2 включительно.
3. Найти координаты ключевых точек для построения этой части параболы. Для этого составим таблицу значений, подставляя значения $x$ из отрезка $[-2, 2]$ в уравнение $y = x^2$.

Составим таблицу значений:

Теперь построим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Так как неравенство $-2 \le x \le 2$ нестрогое, крайние точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ принадлежат искомому множеству, поэтому на графике они будут отмечены закрашенными (сплошными) кружками.

Графическое изображение искомого множества точек:

Ответ: Искомое множество точек представляет собой дугу параболы $y=x^2$ с вершиной в точке $(0, 0)$ и концами в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Графическое представление этого множества показано на рисунке выше.

4 Постройте график зависимости:

а) $y=\begin{cases} x \text{ при } x \ge 1, \\ 1 \text{ при } x < 1; \end{cases}$

б) $y=\begin{cases} x^3 \text{ при } x \ge 0, \\ -x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

а) Построим график для кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 1, \\ 1 & \text{при } x < 1. \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей:

1. Для всех значений $x$, которые больше или равны 1 ($x \ge 1$), функция имеет вид $y=x$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Так как нас интересует только промежуток $x \ge 1$, мы будем строить луч.

   Для построения луча найдем две точки:

   • Начальная точка луча соответствует $x=1$. Подставляем это значение в формулу: $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), эта точка будет закрашенной (включенной в график).

   • Возьмем еще одно значение из этого промежутка, например, $x=2$. Тогда $y=2$. Получаем точку $(2, 2)$.

   Соединяем точку $(1, 1)$ с точкой $(2, 2)$ и продолжаем линию дальше вправо и вверх. Это первая часть графика.

2. Для всех значений $x$, которые меньше 1 ($x < 1$), функция имеет вид $y=1$. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая, проходящая через значение 1 на оси $Oy$. Так как нас интересует только промежуток $x < 1$, мы будем строить луч, направленный влево.

   Этот луч представляет собой горизонтальную прямую на уровне $y=1$ для всех $x < 1$. В точке $x=1$ этот луч заканчивается. Координаты этой граничной точки — $(1, 1)$. Так как неравенство строгое ($ < $), точка не включается в эту часть графика (она называется "выколотой").

Теперь объединим обе части на одной координатной плоскости. Закрашенная точка $(1, 1)$ из первой части графика "закрывает" выколотую точку $(1, 1)$ из второй части. Таким образом, в точке $x=1$ разрыва нет, и график является непрерывным.

Ответ: График состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(1, 1)$. Первый луч — горизонтальная линия $y=1$, идущая из точки $(1, 1)$ влево (для $x<1$). Второй луч — часть прямой $y=x$, идущая из точки $(1, 1)$ вправо и вверх (для $x \ge 1$).

б) Построим график для кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^3 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

График этой функции также состоит из двух частей:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$), функция имеет вид $y=x^3$. Это кубическая парабола. Мы строим её правую ветвь, которая находится в первой координатной четверти.

   Для построения найдем несколько точек:

   • При $x=0$, $y=0^3=0$. Получаем точку $(0, 0)$. Точка включена в график, так как неравенство нестрогое ($ \ge $).

   • При $x=1$, $y=1^3=1$. Получаем точку $(1, 1)$.

   • При $x=2$, $y=2^3=8$. Получаем точку $(2, 8)$.

   Соединяем эти точки плавной кривой, которая начинается в начале координат и уходит вверх.

2. Для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$), функция имеет вид $y=-x$. Это линейная функция, её график — прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Поскольку нас интересует промежуток $x < 0$, мы строим ту часть прямой, которая лежит во II четверти — это луч.

   Для построения луча найдем точки:

   • Граничная точка соответствует $x=0$. Подставляем в $y=-x$, получаем $y=0$. Точка $(0, 0)$ является концом луча. Так как неравенство строгое ($ < $), точка выколотая.

   • Возьмем еще одно значение, например, $x=-1$. Тогда $y=-(-1)=1$. Получаем точку $(-1, 1)$.

   • При $x=-2$, $y=-(-2)=2$. Получаем точку $(-2, 2)$.

   Проводим луч из начала координат через точку $(-1, 1)$ влево и вверх.

Объединяем обе части на одной координатной плоскости. Закрашенная точка $(0, 0)$ от первой части графика "закрывает" выколотую точку $(0, 0)$ от второй. Таким образом, в начале координат разрыва нет, и график является непрерывным.

Ответ: График состоит из двух частей, сходящихся в начале координат $(0, 0)$. Слева от оси $Oy$ (при $x<0$) график представляет собой луч $y=-x$, идущий из начала координат во вторую четверть. Справа от оси $Oy$ (при $x \ge 0$) график представляет собой правую ветвь кубической параболы $y=x^3$.

5 На рисунке 5.49 изображён график температуры воздуха 1 апреля 2010 г. в городе N.

a) В какое время суток температура была равна $0^{\circ}C$?

б) Когда в течение суток температура была положительной?

в) Какова была максимальная температура в этот день?

Ось температуры: $T, {^{\circ}C}$

Ось времени: $t, \text{ч}$

Рис. 5.49

а) Чтобы определить, в какое время суток температура была равна $0 \text{°C}$, необходимо найти точки на графике, в которых линия температуры пересекает горизонтальную ось времени $t$ (где $T=0$).

Анализируя график, можно выделить три таких момента времени:

• В 2 часа ночи ($t=2$ ч).
• В 13 часов дня ($t=13$ ч). Эта точка находится точно посередине между отметками 12 и 14 на оси времени.
• В 22 часа вечера ($t=22$ ч).

Ответ: Температура была равна $0 \text{°C}$ в 2:00, 13:00 и 22:00.

б) Температура считается положительной, когда её значение больше нуля ($T > 0 \text{°C}$). На графике это соответствует тем участкам, где кривая температуры расположена выше горизонтальной оси времени $t$.

На графике видно два таких временных промежутка:

• С начала суток (0:00) до 2:00. В 0 часов температура была положительной (около $1 \text{°C}$), а в 2:00 стала равной нулю.
• С 13:00 до 22:00. В 13:00 и 22:00 температура была равна $0 \text{°C}$, а в течение всего интервала между этими моментами она была выше нуля.

Ответ: Температура была положительной в промежутки времени с 0:00 до 2:00 и с 13:00 до 22:00.

в) Максимальная температура за день соответствует самой высокой точке на графике. Необходимо найти эту точку и определить её значение по вертикальной оси температуры $T$.

Самая высокая точка (пик) на графике наблюдается в 16:00. Значение температуры в этой точке, согласно шкале на вертикальной оси, составляет $4 \text{°C}$.

Ответ: Максимальная температура в этот день была $4 \text{°C}$.