Номер 6, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 Как называется график зависимости $y = x^2$? Укажите координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Постройте этот график и опишите его свойства.

Название графика

График квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ называется параболой. В частном случае, для функции $y = x^2$, график также является параболой.

Ответ: График зависимости $y = x^2$ называется параболой.

Координаты точек, принадлежащих графику

Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику, нужно выбрать несколько значений для аргумента $x$ и вычислить соответствующие значения функции $y$. Составим таблицу значений:

Таким образом, мы получили следующие точки: $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.

Ответ: Примеры координат точек, принадлежащих графику: $(-3, 9)$, $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$.

Построение графика

Для построения графика нанесём найденные точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y=x^2$ является параболой с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

Свойства графика

Основные свойства функции $y=x^2$ и её графика:

• Область определения функции: все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений функции: все неотрицательные числа, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Нули функции: $y = 0$ только при $x = 0$. График пересекает оси координат в одной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x = 0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой минимума. Максимального значения функция не имеет.
• Вершина параболы: находится в точке $(0, 0)$.
• Направление ветвей: ветви параболы направлены вверх.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$, функция чётная, симметрична относительно оси $Oy$, убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$, имеет минимум $y_{min}=0$ в точке $x=0$.