Номер 2, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

2 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $x = -2;$

б) $y = 4;$

в) $x \le 1;$

г) $y \ge 0;$

д) $1,5 \le y \le 3,5;$

е) $-2 \le x \le 1 \text{ и } 2 \le y \le 4.$

а) Условие $x = -2$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) всегда равна -2. При этом ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом. Геометрически это множество точек образует вертикальную прямую, которая параллельна оси ординат ($Oy$) и проходит через точку с координатами $(-2, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

б) Условие $y = 4$ задает множество всех точек, у которых ордината (координата $y$) всегда равна 4, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Это множество точек образует горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс ($Ox$) и проходящую через точку с координатами $(0, 4)$ на оси ординат.

Ответ: Прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 4)$.

в) Неравенство $x \le 1$ описывает все точки на координатной плоскости, абсцисса которых меньше или равна 1. Сначала рассмотрим граничное условие $x = 1$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(1, 0)$. Неравенству $x \le 1$ удовлетворяют все точки, лежащие на этой прямой, а также все точки, лежащие левее этой прямой. Таким образом, искомое множество — это полуплоскость.

Ответ: Полуплоскость, расположенная слева от прямой $x=1$, включая саму прямую.

г) Неравенство $y \ge 0$ описывает все точки, ордината которых больше или равна 0. Граничное условие $y = 0$ — это уравнение оси абсцисс ($Ox$). Неравенству $y \ge 0$ удовлетворяют все точки, лежащие на оси $Ox$, а также все точки, расположенные выше этой оси. Это так называемая верхняя полуплоскость.

Ответ: Верхняя полуплоскость, ограниченная снизу осью $Ox$, включая саму ось.

д) Двойное неравенство $1,5 \le y \le 3,5$ означает, что ордината $y$ каждой точки множества должна быть не меньше 1,5 и не больше 3,5. Это множество ограничено двумя горизонтальными прямыми: $y = 1,5$ (нижняя граница) и $y = 3,5$ (верхняя граница). Поскольку неравенства нестрогие, точки на самих прямых также входят в искомое множество. В результате получается бесконечная полоса между этими прямыми.

Ответ: Горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y = 1,5$ и $y = 3,5$, включая эти прямые.

е) Эта система из двух двойных неравенств задает множество точек, координаты которых удовлетворяют всем четырем условиям одновременно: $x \ge -2$, $x \le 1$, $y \ge 2$ и $y \le 4$. Неравенство $-2 \le x \le 1$ задает вертикальную полосу между прямыми $x = -2$ и $x = 1$ (включая границы). Неравенство $2 \le y \le 4$ задает горизонтальную полосу между прямыми $y = 2$ и $y = 4$ (включая границы). Искомое множество точек является пересечением этих двух полос, что образует прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник, ограниченный прямыми $x = -2$, $x = 1$, $y = 2$ и $y = 4$, включая его стороны. Вершины этого прямоугольника имеют координаты $(-2, 2)$, $(1, 2)$, $(1, 4)$ и $(-2, 4)$.