Номер 5, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать. Чему вы научились. Глава 5. Координаты и графики - номер 5, страница 141.

Условие.

5 Каким равенством задаётся биссектриса II и IV координатных углов?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Координатная плоскость делится осями координат Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат) на четыре координатных угла или квадранта. Биссектрисой координатного угла является прямая, проходящая через начало координат и делящая этот угол пополам. Основное свойство точек, лежащих на биссектрисе координатного угла, заключается в том, что они равноудалены от осей координат.

Для любой точки $M(x, y)$ расстояние до оси Ox равно $|y|$, а расстояние до оси Oy равно $|x|$. Следовательно, для любой точки на биссектрисе координатного угла должно выполняться равенство $|x| = |y|$.

Рассмотрим это условие для точек, лежащих во II и IV координатных углах.

1. Во II координатном углу абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$). Раскрывая модули в равенстве $|x| = |y|$, получаем:
$-x = y$

2. В IV координатном углу абсцисса $x$ положительна ($x > 0$), а ордината $y$ отрицательна ($y < 0$). Раскрывая модули в равенстве $|x| = |y|$, получаем:
$x = -y$

Оба полученных уравнения, $y = -x$ и $x = -y$, являются эквивалентными. Это уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является биссектрисой для II и IV координатных углов. Его также можно записать в виде $x + y = 0$.

Альтернативно, можно найти уравнение этой прямой через ее угловой коэффициент. Биссектриса II координатного угла делит его (угол от $90°$ до $180°$) пополам, то есть она образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $90° + \frac{90°}{2} = 135°$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент.
$k = \tan(135°) = \tan(180° - 45°) = -\tan(45°) = -1$.
Таким образом, уравнение прямой: $y = -1 \cdot x$, или $y = -x$.

Ответ: Биссектриса II и IV координатных углов задаётся равенством $y = -x$.