Номер 5.76, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

5.7. Графики зависимостей, заданных равенствами с модулями ( Узнайте больше). Глава 5. Координаты и графики - номер 5.76, страница 140.

Условие.

5.76 Изобразите на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $y = |x| - x;$

б) $y = |x| \cdot x;$

в) $y = \frac{|x|}{x};$

г) $y = \frac{2x}{|x|}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = |x| - x$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, чтобы раскрыть знак модуля.

1. При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем:
$y = x - x = 0$.
Это означает, что для всех неотрицательных значений $x$ (то есть на промежутке $[0, +\infty)$), график функции совпадает с частью оси абсцисс (Ox). Это луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ и идущий вправо.

2. При $x < 0$, модуль раскрывается как $|x| = -x$. Подставляя это в исходное уравнение, получаем:
$y = -x - x = -2x$.
Это линейная функция, график которой — прямая. Так как мы рассматриваем только $x < 0$, то графиком будет луч, выходящий из начала координат (точка $(0,0)$ не включена в этот луч, но является предельной) и проходящий, например, через точку $(-1, -2(-1)) = (-1, 2)$.

Объединяя оба случая, мы получаем график, состоящий из двух лучей, которые "стыкуются" в точке $(0, 0)$.
Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из луча $y = -2x$ для $x < 0$ и луча $y = 0$ для $x \ge 0$.

б) $y = |x| \cdot x$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение функции принимает вид:
$y = x \cdot x = x^2$.
Это уравнение параболы. На промежутке $[0, +\infty)$ график функции совпадает с правой ветвью параболы $y = x^2$, которая начинается в точке $(0,0)$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение функции принимает вид:
$y = (-x) \cdot x = -x^2$.
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с левой ветвью параболы $y = -x^2$, которая также стремится к точке $(0,0)$.

Итоговый график состоит из двух частей парабол.
Ответ: Множество точек является объединением графика функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ и графика функции $y = -x^2$ при $x < 0$.

в) $y = \frac{|x|}{x}$

Прежде всего отметим область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Это означает, что на графике не будет точки с абсциссой $0$.

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{x}{x} = 1$.
Таким образом, для всех положительных $x$ график представляет собой открытый луч $y=1$ (горизонтальная линия на высоте 1, справа от оси Oy).

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{-x}{x} = -1$.
Таким образом, для всех отрицательных $x$ график представляет собой открытый луч $y=-1$ (горизонтальная линия на высоте -1, слева от оси Oy).

Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ на графике будут "выколотыми".
Ответ: График состоит из двух открытых лучей: $y = 1$ при $x > 0$ и $y = -1$ при $x < 0$. Функция не определена при $x=0$.

г) $y = \frac{2x}{|x|}$

Область определения функции: $x \ne 0$, так как знаменатель не должен быть равен нулю.

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{x} = 2$.
Для всех $x > 0$ график представляет собой открытый луч $y=2$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$y = \frac{2x}{-x} = -2$.
Для всех $x < 0$ график представляет собой открытый луч $y=-2$.

Точки $(0, 2)$ и $(0, -2)$ на графике будут "выколотыми".
Ответ: График состоит из двух открытых лучей: $y = 2$ при $x > 0$ и $y = -2$ при $x < 0$. Функция не определена при $x=0$.