Номер 4, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 5. Координаты и графики. Чему вы научились. Это надо знать - номер 4, страница 141.

Условие.

4 Каким равенством задаётся биссектриса I и III координатных углов?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Координатная плоскость делится осями координат (осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$) на четыре координатных угла, которые также называют координатными четвертями или квадрантами.

Биссектриса I и III координатных углов — это геометрическое место точек, равноудаленных от осей координат и расположенных в этих четвертях.

Рассмотрим произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, которая лежит на этой биссектрисе.

• Расстояние от точки $M(x, y)$ до оси абсцисс ($Ox$) равно модулю ее ординаты, то есть $|y|$.
• Расстояние от точки $M(x, y)$ до оси ординат ($Oy$) равно модулю ее абсциссы, то есть $|x|$.

По определению биссектрисы, эти расстояния должны быть равны:

$|y| = |x|$

Это равенство является общим для биссектрис как I и III, так и II и IV координатных углов. Чтобы определить, какое именно равенство описывает биссектрису I и III углов, рассмотрим знаки координат в этих четвертях:

• В I координатном углу (первой четверти) обе координаты положительны: $x > 0$ и $y > 0$. В этом случае равенство $|y| = |x|$ раскрывается как $y = x$.
• В III координатном углу (третьей четверти) обе координаты отрицательны: $x < 0$ и $y < 0$. В этом случае равенство $|y| = |x|$ раскрывается как $-y = -x$, что после умножения на $-1$ дает $y = x$.

Таким образом, для всех точек, лежащих на биссектрисе I и III координатных углов (включая начало координат, где $0=0$), выполняется одно и то же равенство.

Альтернативно, можно рассмотреть эту биссектрису как прямую, проходящую через начало координат под углом $45^\circ$ к положительному направлению оси $Ox$. Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$. Так как прямая проходит через начало координат, $b=0$. Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона: $k = \tan(45^\circ) = 1$. Следовательно, уравнение прямой: $y = 1 \cdot x$ или $y = x$.

Ответ: $y = x$