Номер 4, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

4 Постройте график зависимости:

а) $y=\begin{cases} x \text{ при } x \ge 1, \\ 1 \text{ при } x < 1; \end{cases}$

б) $y=\begin{cases} x^3 \text{ при } x \ge 0, \\ -x \text{ при } x < 0. \end{cases}$

а) Построим график для кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x & \text{при } x \ge 1, \\ 1 & \text{при } x < 1. \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей:

1. Для всех значений $x$, которые больше или равны 1 ($x \ge 1$), функция имеет вид $y=x$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Так как нас интересует только промежуток $x \ge 1$, мы будем строить луч.

   Для построения луча найдем две точки:

   • Начальная точка луча соответствует $x=1$. Подставляем это значение в формулу: $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$. Так как неравенство нестрогое ($ \ge $), эта точка будет закрашенной (включенной в график).

   • Возьмем еще одно значение из этого промежутка, например, $x=2$. Тогда $y=2$. Получаем точку $(2, 2)$.

   Соединяем точку $(1, 1)$ с точкой $(2, 2)$ и продолжаем линию дальше вправо и вверх. Это первая часть графика.

2. Для всех значений $x$, которые меньше 1 ($x < 1$), функция имеет вид $y=1$. Это постоянная функция, её график — горизонтальная прямая, проходящая через значение 1 на оси $Oy$. Так как нас интересует только промежуток $x < 1$, мы будем строить луч, направленный влево.

   Этот луч представляет собой горизонтальную прямую на уровне $y=1$ для всех $x < 1$. В точке $x=1$ этот луч заканчивается. Координаты этой граничной точки — $(1, 1)$. Так как неравенство строгое ($ < $), точка не включается в эту часть графика (она называется "выколотой").

Теперь объединим обе части на одной координатной плоскости. Закрашенная точка $(1, 1)$ из первой части графика "закрывает" выколотую точку $(1, 1)$ из второй части. Таким образом, в точке $x=1$ разрыва нет, и график является непрерывным.

Ответ: График состоит из двух лучей, сходящихся в точке $(1, 1)$. Первый луч — горизонтальная линия $y=1$, идущая из точки $(1, 1)$ влево (для $x<1$). Второй луч — часть прямой $y=x$, идущая из точки $(1, 1)$ вправо и вверх (для $x \ge 1$).

б) Построим график для кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^3 & \text{при } x \ge 0, \\ -x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

График этой функции также состоит из двух частей:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$), функция имеет вид $y=x^3$. Это кубическая парабола. Мы строим её правую ветвь, которая находится в первой координатной четверти.

   Для построения найдем несколько точек:

   • При $x=0$, $y=0^3=0$. Получаем точку $(0, 0)$. Точка включена в график, так как неравенство нестрогое ($ \ge $).

   • При $x=1$, $y=1^3=1$. Получаем точку $(1, 1)$.

   • При $x=2$, $y=2^3=8$. Получаем точку $(2, 8)$.

   Соединяем эти точки плавной кривой, которая начинается в начале координат и уходит вверх.

2. Для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$), функция имеет вид $y=-x$. Это линейная функция, её график — прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Поскольку нас интересует промежуток $x < 0$, мы строим ту часть прямой, которая лежит во II четверти — это луч.

   Для построения луча найдем точки:

   • Граничная точка соответствует $x=0$. Подставляем в $y=-x$, получаем $y=0$. Точка $(0, 0)$ является концом луча. Так как неравенство строгое ($ < $), точка выколотая.

   • Возьмем еще одно значение, например, $x=-1$. Тогда $y=-(-1)=1$. Получаем точку $(-1, 1)$.

   • При $x=-2$, $y=-(-2)=2$. Получаем точку $(-2, 2)$.

   Проводим луч из начала координат через точку $(-1, 1)$ влево и вверх.

Объединяем обе части на одной координатной плоскости. Закрашенная точка $(0, 0)$ от первой части графика "закрывает" выколотую точку $(0, 0)$ от второй. Таким образом, в начале координат разрыва нет, и график является непрерывным.

Ответ: График состоит из двух частей, сходящихся в начале координат $(0, 0)$. Слева от оси $Oy$ (при $x<0$) график представляет собой луч $y=-x$, идущий из начала координат во вторую четверть. Справа от оси $Oy$ (при $x \ge 0$) график представляет собой правую ветвь кубической параболы $y=x^3$.