Страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6 На рисунке 5.50 изображён график движения туриста от турлагеря до станции. Используя график, ответьте на следующие вопросы:

$s$, км

$t$, ч

a) Сколько километров прошёл турист за первые 2 часа?

б) За сколько часов турист прошёл 15 км?

в) Сколько времени турист отдыхал?

г) Сколько всего километров прошёл турист?

д) Сколько всего часов шёл турист?

Рис. 5.50

а) Сколько километров прошёл турист за первые 2 часа?

Чтобы определить, сколько километров прошёл турист за первые 2 часа, необходимо найти на горизонтальной оси времени `t` отметку в 2 часа. Затем нужно подняться от этой точки вертикально до пересечения с линией графика. Из точки пересечения следует провести горизонтальную линию влево до оси расстояния `s`. Эта линия указывает на значение 8 км.

Ответ: 8 км.

б) За сколько часов турист прошёл 15 км?

Чтобы найти время, за которое турист прошёл 15 км, нужно найти значение 15 на вертикальной оси расстояния `s`. От этой точки проведём горизонтальную линию до пересечения с графиком. Точка пересечения находится на втором участке движения. Опустив из этой точки перпендикуляр на ось времени `t`, мы попадём в точку 4. Таким образом, 15 км турист прошёл за 4 часа.

Можно также рассчитать. Второй участок движения начинается в точке $(3; 10)$ и заканчивается в точке $(5; 20)$. Скорость на этом участке: $v = \frac{20 - 10}{5 - 3} = \frac{10}{2} = 5$ км/ч. Время, чтобы пройти расстояние от 10 км до 15 км, составляет: $t_{доп} = \frac{15 - 10}{5} = 1$ час. Общее время равно времени до начала второго участка плюс дополнительное время: $t = 3 + 1 = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

в) Сколько времени турист отдыхал?

Отдых на графике показан горизонтальным отрезком, так как в этот период времени расстояние не изменялось. Этот отрезок начинается при $t_1 = 2.5$ часа и заканчивается при $t_2 = 3$ часа. Длительность отдыха равна разности этих моментов времени: $\Delta t = t_2 - t_1 = 3 - 2.5 = 0.5$ часа.

Ответ: 0.5 часа (или 30 минут).

г) Сколько всего километров прошёл турист?

Общее расстояние, которое прошёл турист, — это конечное значение на оси расстояния `s`. График заканчивается при $t = 5$ часов, и в этой точке значение расстояния $s$ составляет 20 км.

Ответ: 20 км.

д) Сколько всего часов шёл турист?

Общее время всего пути составляет 5 часов. Из этого времени нужно вычесть время отдыха. Как мы выяснили в пункте в), турист отдыхал 0.5 часа. Следовательно, время, которое он находился в движении (шёл), равно: $t_{движения} = t_{общее} - t_{отдыха} = 5 - 0.5 = 4.5$ часа.

Ответ: 4.5 часа.

1 Поставьте в соответствие каждому промежутку его алгебраическое описание.

А) Б) В) Г) 1) $x \ge -2$

2) $x \le -2$

3) $x \ge -6$

4) $x \le -6$

Для решения этой задачи необходимо сопоставить графическое представление числовых промежутков на координатной прямой с их алгебраическим описанием в виде неравенств. Закрашенная точка на прямой означает, что граничное число включается в промежуток (нестрогое неравенство, то есть со знаками $ \ge $ или $ \le $). Направление штриховки и стрелки указывает на область значений: вправо — для чисел, больших или равных граничному значению, влево — для чисел, меньших или равных ему.

А)

На графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -6 и идущий влево. Это означает, что промежуток включает все числа, которые меньше или равны -6. Такое условие записывается в виде неравенства $x \le -6$. Это соответствует варианту 4.

Ответ: 4

Б)

На графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -2 и идущий вправо. Это означает, что промежуток включает все числа, которые больше или равны -2. Такое условие записывается в виде неравенства $x \ge -2$. Это соответствует варианту 1.

Ответ: 1

В)

На графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -6 и идущий вправо. Это означает, что промежуток включает все числа, которые больше или равны -6. Такое условие записывается в виде неравенства $x \ge -6$. Это соответствует варианту 3.

Ответ: 3

Г)

На графике изображен числовой луч, начинающийся в точке -2 и идущий влево. Это означает, что промежуток включает все числа, которые меньше или равны -2. Такое условие записывается в виде неравенства $x \le -2$. Это соответствует варианту 2.

Ответ: 2

2 Укажите число, не принадлежащее промежутку $-0,25 < x < 0,55$.

1) $\frac{1}{2}$

2) $\frac{1}{4}$

3) $-\frac{1}{3}$

4) $-\frac{1}{5}$

Чтобы определить, какое из предложенных чисел не принадлежит промежутку $-0,25 < x < 0,55$, необходимо каждое число сравнить с границами этого промежутка. Для удобства сравнения преобразуем обыкновенные дроби в десятичные.

1) Проверим число $\frac{1}{2}$.

Переведем дробь в десятичный вид: $\frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0,5$.

Подставим это значение в неравенство: $-0,25 < 0,5 < 0,55$.

Неравенство является верным. Следовательно, число $\frac{1}{2}$ принадлежит данному промежутку.

2) Проверим число $\frac{1}{4}$.

Переведем дробь в десятичный вид: $\frac{1}{4} = 1 \div 4 = 0,25$.

Подставим это значение в неравенство: $-0,25 < 0,25 < 0,55$.

Неравенство является верным. Следовательно, число $\frac{1}{4}$ принадлежит данному промежутку.

3) Проверим число $-\frac{1}{3}$.

Переведем дробь в десятичный вид: $-\frac{1}{3} = -1 \div 3 = -0,333... = -0,(3)$.

Подставим это значение в неравенство: $-0,25 < -0,(3) < 0,55$.

Левая часть этого двойного неравенства, $-0,25 < -0,(3)$, неверна, так как $-0,(3)$ меньше, чем $-0,25$. Следовательно, число $-\frac{1}{3}$ не принадлежит данному промежутку.

4) Проверим число $-\frac{1}{5}$.

Переведем дробь в десятичный вид: $-\frac{1}{5} = -1 \div 5 = -0,2$.

Подставим это значение в неравенство: $-0,25 < -0,2 < 0,55$.

Неравенство является верным. Следовательно, число $-\frac{1}{5}$ принадлежит данному промежутку.

Таким образом, единственное число, которое не принадлежит заданному промежутку, это $-\frac{1}{3}$.

Ответ: 3

3 На координатной прямой отмечены точки $A(-1,5)$ и $B(6)$. Найдите координату точки $M$, если известно, что $AM : MB = 1 : 2$.

Для решения задачи необходимо найти координату точки $M(x_M)$, которая делит отрезок, заданный точками $A(-1,5)$ и $B(6)$, в отношении $AM:MB = 1:2$.

В большинстве случаев подобные задачи подразумевают, что точка $M$ находится между точками $A$ и $B$ (внутреннее деление отрезка). Координата такой точки вычисляется по формуле деления отрезка в данном отношении. Если точка $M(x_M)$ делит отрезок с концами в точках $A(x_A)$ и $B(x_B)$ в отношении $m:n$, ее координата находится по формуле:

$x_M = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m + n}$

В нашем случае даны следующие значения:

Координата точки $A$: $x_A = -1,5$

Координата точки $B$: $x_B = 6$

Отношение $m:n = 1:2$, откуда $m=1$ и $n=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$x_M = \frac{2 \cdot (-1,5) + 1 \cdot 6}{1 + 2}$

Теперь выполним вычисления:

$x_M = \frac{-3 + 6}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Таким образом, координата точки $M$ равна 1.

Для проверки правильности решения найдем длины отрезков $AM$ и $MB$:

Длина отрезка $AM = |x_M - x_A| = |1 - (-1,5)| = |1 + 1,5| = 2,5$.

Длина отрезка $MB = |x_B - x_M| = |6 - 1| = 5$.

Отношение длин отрезков $AM : MB = 2,5 : 5 = 1 : 2$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 1.

4 Установите соответствие между неравенствами, задающими один и тот же числовой промежуток и расположенными в верхней и нижней строках.

А) $4 < x < 16$

Б) $-10 < x < 10$

В) $-8 < x < -2$

1) $|x| < 10$

2) $|x + 5| < 3$

3) $|x - 10| < 6$

Для того чтобы установить соответствие, необходимо решить каждое неравенство с модулем (из нижней строки) и найти, какому из двойных неравенств (из верхней строки) оно эквивалентно. Неравенство вида $|f(x)| < a$ (при $a>0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

А) Найдем соответствующее неравенство для промежутка $4 < x < 16$.

Рассмотрим неравенство 3) $|x - 10| < 6$.

Согласно правилу раскрытия модуля, это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-6 < x - 10 < 6$

Чтобы найти значение $x$, прибавим 10 ко всем частям этого неравенства:

$-6 + 10 < x - 10 + 10 < 6 + 10$

$4 < x < 16$

Полученный числовой промежуток полностью совпадает с промежутком из пункта А).
Ответ: 3

Б) Найдем соответствующее неравенство для промежутка $-10 < x < 10$.

Рассмотрим неравенство 1) $|x| < 10$.

По определению модуля, данное неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-10 < x < 10$

Этот промежуток совпадает с промежутком из пункта Б).
Ответ: 1

В) Найдем соответствующее неравенство для промежутка $-8 < x < -2$.

Рассмотрим неравенство 2) $|x + 5| < 3$.

Раскроем модуль, что приведет к двойному неравенству:

$-3 < x + 5 < 3$

Чтобы найти значение $x$, вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-3 - 5 < x + 5 - 5 < 3 - 5$

$-8 < x < -2$

Этот промежуток совпадает с промежутком из пункта В).
Ответ: 2

5 Каким равенством можно задать вертикальную прямую, проходящую через точку $M(-2; 6)$?

1) $x=-2$

2) $x=6$

3) $y=-2$

4) $y=6$

Вертикальная прямая на координатной плоскости — это прямая, параллельная оси ординат (оси $y$). Характерным свойством такой прямой является то, что все ее точки имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Уравнение любой вертикальной прямой можно записать в виде $x = c$, где $c$ — это постоянная абсцисса для всех точек, принадлежащих этой прямой.

По условию задачи, искомая вертикальная прямая должна проходить через точку $M$ с координатами $(-2; 6)$. Это значит, что для точки $M$ абсцисса $x = -2$, а ордината $y = 6$.

Так как прямая вертикальна и проходит через точку $M(-2; 6)$, ее абсцисса во всех точках должна быть такой же, как у точки $M$. Следовательно, константа $c$ в уравнении $x = c$ должна быть равна $-2$.

Таким образом, искомое равенство — $x = -2$. Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

1) $x = -2$ — это уравнение задает вертикальную прямую, на которой у всех точек абсцисса равна $-2$. Эта прямая проходит через точку $M(-2; 6)$. Следовательно, это правильный ответ.

2) $x = 6$ — это уравнение задает вертикальную прямую, но она проходит через точки с абсциссой $6$. Она не проходит через точку $M(-2; 6)$.

3) $y = -2$ — это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси $x$. Все ее точки имеют ординату $-2$. Она не является вертикальной и не проходит через точку $M(-2; 6)$.

4) $y = 6$ — это уравнение задает горизонтальную прямую. Все ее точки имеют ординату $6$. Эта прямая проходит через точку $M(-2; 6)$, но она горизонтальная, а не вертикальная, как требуется в условии.

Ответ: 1) $x = -2$

6 Каким равенством можно задать горизонтальную прямую, проходящую через точку $M(a; b)$?

1) $x = a$

2) $x = b$

3) $y = a$

4) $y = b$

Горизонтальная прямая в декартовой системе координат — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$). Ключевым свойством такой прямой является то, что все её точки имеют одинаковую ординату (координату $y$), в то время как их абсцисса (координата $x$) может принимать любое значение.

Общий вид уравнения горизонтальной прямой: $y = c$, где $c$ — это постоянное значение, равное ординате любой точки на этой прямой.

В условии задачи сказано, что прямая проходит через точку $M$ с координатами $(a; b)$. Это означает, что координаты точки $M$ должны удовлетворять уравнению прямой. В точке $M$ абсцисса $x = a$, а ордината $y = b$.

Поскольку искомая прямая горизонтальна, ее уравнение должно иметь вид $y = c$. Так как эта прямая проходит через точку $M(a; b)$, то ее постоянная ордината $c$ должна быть равна ординате точки $M$, то есть $b$.

Таким образом, уравнение искомой горизонтальной прямой, проходящей через точку $M(a; b)$, имеет вид $y = b$.

Проанализируем предложенные варианты:
1) $x = a$: это уравнение вертикальной прямой (параллельной оси $Oy$), проходящей через точку $M(a; b)$.
2) $x = b$: это уравнение вертикальной прямой, которая проходит через точки с абсциссой $b$.
3) $y = a$: это уравнение горизонтальной прямой, которая проходит через точки с ординатой $a$.
4) $y = b$: это уравнение горизонтальной прямой, проходящей через все точки с ординатой $b$. Поскольку у точки $M(a; b)$ ордината равна $b$, эта прямая проходит через точку $M$.

Ответ: 4) $y=b$

7 Поставьте в соответствие каждому множеству точек его алгебраическое описание.

A) Б) В) Г) 1) $x=2$ и $y \ge 2$

2) $y=2$ и $x \ge 2$

3) $y=-2$ и $|x| \le 2$

4) $x=-2$ и $|y| \le 2$

А)

На графике А изображен горизонтальный луч. Для всех точек этого луча координата $y$ постоянна и равна 2, то есть $y=2$. Луч начинается в точке с координатой $x=2$ (точка закрашена, значит, значение включено) и продолжается вправо вдоль оси $x$. Это означает, что координата $x$ принимает все значения, большие или равные 2, то есть $x \ge 2$. Таким образом, множество точек описывается системой условий $y=2$ и $x \ge 2$. Это соответствует варианту 2.

Ответ: 2

Б)

На графике Б изображен горизонтальный отрезок. Для всех точек этого отрезка координата $y$ постоянна и равна -2, то есть $y=-2$. Отрезок соединяет точки с координатами $x=-2$ и $x=2$. Обе конечные точки закрашены, поэтому они включены в множество. Это означает, что координата $x$ принимает все значения от -2 до 2 включительно, что можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le x \le 2$ или, что то же самое, с помощью модуля $|x| \le 2$. Таким образом, множество точек описывается системой условий $y=-2$ и $|x| \le 2$. Это соответствует варианту 3.

Ответ: 3

В)

На графике В изображен вертикальный луч. Для всех точек этого луча координата $x$ постоянна и равна 2, то есть $x=2$. Луч начинается в точке с координатой $y=2$ (точка закрашена) и продолжается вверх. Это означает, что координата $y$ принимает все значения, большие или равные 2, то есть $y \ge 2$. Таким образом, множество точек описывается системой условий $x=2$ и $y \ge 2$. Это соответствует варианту 1.

Ответ: 1

Г)

На графике Г изображен вертикальный отрезок. Для всех точек этого отрезка координата $x$ постоянна и равна -2, то есть $x=-2$. Отрезок соединяет точки с координатами $y=-2$ и $y=2$. Обе конечные точки закрашены, поэтому они включены в множество. Это означает, что координата $y$ принимает все значения от -2 до 2 включительно, что можно записать в виде двойного неравенства $-2 \le y \le 2$ или с помощью модуля $|y| \le 2$. Таким образом, множество точек описывается системой условий $x=-2$ и $|y| \le 2$. Это соответствует варианту 4.

Ответ: 4