Страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.15 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $\frac{5^7}{25 \cdot 125}$;

б) $\frac{64 \cdot 32}{2^{10}}$;

в) $\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения, представим все числа в знаменателе в виде степеней с основанием 5, так как в числителе уже есть степень с этим основанием.

Число 25 это $5^2$.

Число 125 это $5^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{5^7}{25 \cdot 125} = \frac{5^7}{5^2 \cdot 5^3}$

В знаменателе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5^7}{5^5}$

Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$5^{7-5} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

б)

Для решения этого примера приведем все числа в выражении к основанию 2, так как в знаменателе уже есть степень с этим основанием.

Число 64 это $2^6$.

Число 32 это $2^5$.

Подставим полученные степени в исходное выражение:

$\frac{64 \cdot 32}{2^{10}} = \frac{2^6 \cdot 2^5}{2^{10}}$

В числителе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^6 \cdot 2^5 = 2^{6+5} = 2^{11}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{2^{11}}{2^{10}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$2^{11-10} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

в)

В этом выражении присутствуют степени с основаниями 2 и 3. Представим числа 16 и 81 в виде степеней с соответствующими основаниями.

Число 16 это $2^4$.

Число 81 это $3^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6} = \frac{2^4 \cdot 3^6}{3^4 \cdot 2^6}$

Для удобства сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^6} \cdot \frac{3^6}{3^4}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$) для каждой дроби:

Для первой дроби: $\frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2}$

Для второй дроби: $\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$

6.16 АНАЛИЗИРУЕМ Дана таблица степеней числа 3.

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

$3^7 = 2187$

$3^8 = 6561$

$3^9 = 19683$

$3^{10} = 59049$

$3^{11} = 177147$

$3^{12} = 531441$

1) Пользуясь этой таблицей, вычислите:

a) $729 \cdot 81$;

б) $2187 \cdot 243$;

в) $\frac{177147}{729}$;

г) $\frac{59049 \cdot 6561}{2187}$.

2) Составьте несколько выражений, значения которых можно найти, пользуясь таблицей степеней числа 3.

1)

а) Чтобы вычислить $729 \cdot 81$, представим числа в виде степеней числа 3, используя данную таблицу. Из таблицы мы видим, что $729 = 3^6$ и $81 = 3^4$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $729 \cdot 81 = 3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$. Теперь найдем значение $3^{10}$ в таблице. Оно равно 59 049. Ответ: 59 049.

б) Для выражения $2187 \cdot 243$ найдем соответствующие степени в таблице: $2187 = 3^7$ и $243 = 3^5$. Используем свойство умножения степеней: $2187 \cdot 243 = 3^7 \cdot 3^5 = 3^{7+5} = 3^{12}$. Значение $3^{12}$ по таблице равно 531 441. Ответ: 531 441.

в) Для вычисления дроби $\frac{177147}{729}$ заменим числа их степенями из таблицы: $177147 = 3^{11}$ и $729 = 3^6$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{177147}{729} = \frac{3^{11}}{3^6} = 3^{11-6} = 3^5$. По таблице $3^5$ равно 243. Ответ: 243.

г) Для выражения $\frac{59049 \cdot 6561}{2187}$ представим все числа в виде степеней числа 3: $59049 = 3^{10}$, $6561 = 3^8$, $2187 = 3^7$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{3^{10} \cdot 3^8}{3^7}$. Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели: $\frac{3^{10+8}}{3^7} = \frac{3^{18}}{3^7}$. Затем выполним деление, вычтя показатели: $3^{18-7} = 3^{11}$. Значение $3^{11}$ из таблицы равно 177 147. Ответ: 177 147.

2)

Можно составить множество выражений, используя числа из таблицы и операции умножения и деления. Главное, чтобы итоговая степень числа 3 была в диапазоне от 1 до 12. Вот несколько примеров:

Пример 1: $27 \cdot 243$.
Решение: $27 \cdot 243 = 3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$. Результат $3^8 = 6561$ есть в таблице.

Пример 2: $59049 : 81$.
Решение: $59049 : 81 = 3^{10} : 3^4 = 3^{10-4} = 3^6$. Результат $3^6 = 729$ есть в таблице.

Пример 3: $(531441 : 2187) \cdot 9$.
Решение: $(3^{12} : 3^7) \cdot 3^2 = 3^{12-7} \cdot 3^2 = 3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7$. Результат $3^7 = 2187$ есть в таблице.

Ответ: Например, $27 \cdot 243$; $59049 : 81$; $(531441 : 2187) \cdot 9$.

6.17 Представьте выражение в виде степени с основанием a:

а) $a^k a^{2k}$;

б) $a^{k+1} a^k$;

в) $a a^k a^{2-k}$;

г) $a^{k-1} a^2$;

д) $a a^k a^{k-1}$;

е) $a^{k+1} a^{k-1}$.

Для решения всех пунктов используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: при умножении таких степеней их показатели складываются. Формула выглядит так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Если основание степени записано без показателя, его показатель равен 1, то есть $a = a^1$.

а) Требуется представить выражение $a^k a^{2k}$ в виде степени с основанием $a$.

Складываем показатели степеней $k$ и $2k$:

$a^k \cdot a^{2k} = a^{k + 2k} = a^{3k}$

Ответ: $a^{3k}$

б) Требуется представить выражение $a^{k+1} a^k$ в виде степени с основанием $a$.

Складываем показатели $k+1$ и $k$:

$a^{k+1} \cdot a^k = a^{(k+1) + k} = a^{k+1+k} = a^{2k+1}$

Ответ: $a^{2k+1}$

в) Требуется представить выражение $a a^k a^{2-k}$ в виде степени с основанием $a$.

Представляем $a$ как $a^1$ и складываем показатели всех трех множителей: $1$, $k$ и $2-k$.

$a \cdot a^k \cdot a^{2-k} = a^1 \cdot a^k \cdot a^{2-k} = a^{1 + k + (2-k)} = a^{1+k+2-k} = a^3$

Ответ: $a^3$

г) Требуется представить выражение $a^{k-1} a^2$ в виде степени с основанием $a$.

Складываем показатели $k-1$ и $2$:

$a^{k-1} \cdot a^2 = a^{(k-1) + 2} = a^{k-1+2} = a^{k+1}$

Ответ: $a^{k+1}$

д) Требуется представить выражение $a a^k a^{k-1}$ в виде степени с основанием $a$.

Представляем $a$ как $a^1$ и складываем показатели $1$, $k$ и $k-1$.

$a \cdot a^k \cdot a^{k-1} = a^1 \cdot a^k \cdot a^{k-1} = a^{1 + k + (k-1)} = a^{1+k+k-1} = a^{2k}$

Ответ: $a^{2k}$

е) Требуется представить выражение $a^{k+1} a^{k-1}$ в виде степени с основанием $a$.

Складываем показатели $k+1$ и $k-1$:

$a^{k+1} \cdot a^{k-1} = a^{(k+1) + (k-1)} = a^{k+1+k-1} = a^{2k}$

Ответ: $a^{2k}$

6.18 Представьте выражение в виде степени с основанием y:

а) $y^{k+1} : y^{k-1}$;
б) $y^{3k} : y^{2k-2}$;
в) $y^{10k} : y^{5k-1}$;
г) $y^{2k+2} : y^{2}$.

а) Чтобы представить выражение в виде степени с основанием y, мы используем правило деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В данном выражении основание $a=y$, показатель делимого $m = k+1$, а показатель делителя $n = k-1$.

Применим правило:

$y^{k+1} : y^{k-1} = y^{(k+1) - (k-1)}$

Теперь упростим показатель степени:

$(k+1) - (k-1) = k+1-k+1 = (k-k) + (1+1) = 2$

Таким образом, выражение равно $y^2$.

Ответ: $y^2$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание $a=y$, показатель делимого $m = 3k$, показатель делителя $n = 2k-2$.

Подставляем значения в формулу:

$y^{3k} : y^{2k-2} = y^{3k - (2k-2)}$

Упрощаем показатель степени, раскрывая скобки:

$3k - (2k-2) = 3k - 2k + 2 = k+2$

В результате получаем $y^{k+2}$.

Ответ: $y^{k+2}$.

в) Снова применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Для этого выражения основание $a=y$, показатель делимого $m = 10k$, а показатель делителя $n = 5k-1$.

Выполняем вычитание показателей:

$y^{10k} : y^{5k-1} = y^{10k - (5k-1)}$

Упрощаем полученное выражение в показателе степени:

$10k - (5k-1) = 10k - 5k + 1 = 5k+1$

Следовательно, итоговое выражение имеет вид $y^{5k+1}$.

Ответ: $y^{5k+1}$.

г) Для последнего выражения также используем правило частного степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a=y$, показатель делимого $m = 2k+2$, показатель делителя $n = 2$.

Применяем правило:

$y^{2k+2} : y^2 = y^{(2k+2) - 2}$

Упрощаем показатель степени:

$(2k+2) - 2 = 2k+2-2 = 2k$

Таким образом, получаем $y^{2k}$.

Ответ: $y^{2k}$.

6.19 Представьте выражение в виде дроби:

а) $a^{m-n}$; б) $x^{m-2}$; в) $y^{10-m}$; г) $b^{m-1}$.

Для того чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо воспользоваться свойством степени для частного: $ a^{k-l} = \frac{a^k}{a^l} $. Это свойство гласит, что степень с разностью в показателе равна частному степеней с тем же основанием, где в числителе показатель равен уменьшаемому, а в знаменателе — вычитаемому.

а)

Применим свойство частного степеней к выражению $ a^{m-n} $. В данном случае основание степени — $ a $, показатель степени числителя — $ m $, а показатель степени знаменателя — $ n $.

$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

Ответ: $ \frac{a^m}{a^n} $

б)

Для выражения $ x^{m-2} $ основание степени — $ x $. Показатель степени числителя — $ m $, а показатель степени знаменателя — $ 2 $.

$ x^{m-2} = \frac{x^m}{x^2} $

Ответ: $ \frac{x^m}{x^2} $

в)

Для выражения $ y^{10-m} $ основание степени — $ y $. Показатель степени числителя — $ 10 $, а показатель степени знаменателя — $ m $.

$ y^{10-m} = \frac{y^{10}}{y^m} $

Ответ: $ \frac{y^{10}}{y^m} $

г)

Для выражения $ b^{m-1} $ основание степени — $ b $. Показатель степени числителя — $ m $, а показатель степени знаменателя — $ 1 $.

$ b^{m-1} = \frac{b^m}{b^1} = \frac{b^m}{b} $

Ответ: $ \frac{b^m}{b} $

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (6.20–6.21)

6.20 Представьте каждое из выражений в виде степени:

а) $2 \cdot 2^3$, $2^5 + 2^5$, $2^n + 2^n$, $2^n \cdot 2^n$;

б) $3 \cdot 3^4$, $3^6 + 3^6 + 3^6$, $3^n + 3^n + 3^n$, $3^n \cdot 3^n$.

Чтобы представить выражение $2 \cdot 2^3$ в виде степени, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Представим число 2 как $2^1$:
$2 \cdot 2^3 = 2^1 \cdot 2^3 = 2^{1+3} = 2^4$.
Ответ: $2^4$.

Выражение $2^5 + 2^5$ является суммой двух одинаковых слагаемых. Это можно записать как произведение $2$ на $2^5$ и затем применить свойство умножения степеней:
$2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5 = 2^1 \cdot 2^5 = 2^{1+5} = 2^6$.
Ответ: $2^6$.

Аналогично предыдущему примеру, выражение $2^n + 2^n$ представляет собой сумму двух одинаковых слагаемых. Запишем это как произведение:
$2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^1 \cdot 2^n = 2^{n+1}$.
Ответ: $2^{n+1}$.

В выражении $2^n \cdot 2^n$ мы перемножаем степени с одинаковым основанием. Согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^n \cdot 2^n = 2^{n+n} = 2^{2n}$.
Ответ: $2^{2n}$.

Чтобы представить выражение $3 \cdot 3^4$ в виде степени, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Представим число 3 как $3^1$:
$3 \cdot 3^4 = 3^1 \cdot 3^4 = 3^{1+4} = 3^5$.
Ответ: $3^5$.

Выражение $3^6 + 3^6 + 3^6$ является суммой трех одинаковых слагаемых. Это можно записать как произведение $3$ на $3^6$ и применить свойство умножения степеней:
$3^6 + 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6 = 3^1 \cdot 3^6 = 3^{1+6} = 3^7$.
Ответ: $3^7$.

По аналогии, выражение $3^n + 3^n + 3^n$ представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых. Запишем это как произведение:
$3^n + 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n = 3^1 \cdot 3^n = 3^{n+1}$.
Ответ: $3^{n+1}$.

В выражении $3^n \cdot 3^n$ мы перемножаем степени с одинаковым основанием. Согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^n \cdot 3^n = 3^{n+n} = 3^{2n}$.
Ответ: $3^{2n}$.

6.21 Вычислите:

a) $ \frac{5^n + 5^n + 5^n + 5^n}{5^n + 5^n + 5^n + 5^n} $;

б) $ \frac{\overbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}^{\text{100 слагаемых}}}{\underbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}_{\text{90 слагаемых}}} $.

а) В числителе дроби находится сумма четырех одинаковых слагаемых $5^n$, а в знаменателе - сумма трех таких же слагаемых. Заменим суммы одинаковых слагаемых на произведения.
$ \frac{5^n + 5^n + 5^n + 5^n}{5^n + 5^n + 5^n} = \frac{4 \cdot 5^n}{3 \cdot 5^n} $
Теперь сократим дробь на общий множитель $5^n$:
$ \frac{4 \cdot 5^n}{3 \cdot 5^n} = \frac{4}{3} $
Ответ: $ \frac{4}{3} $

б) В числителе дроби находится сумма 100 одинаковых слагаемых $100^n$, а в знаменателе - сумма 90 таких же слагаемых. Заменим эти суммы произведениями.
Исходное выражение можно переписать так:
$ \frac{\overbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}^{\text{100 слагаемых}}}{\underbrace{100^n + 100^n + \dots + 100^n}_{\text{90 слагаемых}}} = \frac{100 \cdot 100^n}{90 \cdot 100^n} $
Сократим дробь на общий множитель $100^n$:
$ \frac{100 \cdot 100^n}{90 \cdot 100^n} = \frac{100}{90} $
Теперь сократим полученную числовую дробь на 10:
$ \frac{100}{90} = \frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{10}{9} $
Ответ: $ \frac{10}{9} $