Номер 6.15, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Многочлены - номер 6.15, страница 148.

Условие.

6.15 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $\frac{5^7}{25 \cdot 125}$;

б) $\frac{64 \cdot 32}{2^{10}}$;

в) $\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы вычислить значение выражения, представим все числа в знаменателе в виде степеней с основанием 5, так как в числителе уже есть степень с этим основанием.

Число 25 это $5^2$.

Число 125 это $5^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{5^7}{25 \cdot 125} = \frac{5^7}{5^2 \cdot 5^3}$

В знаменателе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{5^7}{5^5}$

Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$5^{7-5} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

б)

Для решения этого примера приведем все числа в выражении к основанию 2, так как в знаменателе уже есть степень с этим основанием.

Число 64 это $2^6$.

Число 32 это $2^5$.

Подставим полученные степени в исходное выражение:

$\frac{64 \cdot 32}{2^{10}} = \frac{2^6 \cdot 2^5}{2^{10}}$

В числителе воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^6 \cdot 2^5 = 2^{6+5} = 2^{11}$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{2^{11}}{2^{10}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$2^{11-10} = 2^1 = 2$

Ответ: 2

в)

В этом выражении присутствуют степени с основаниями 2 и 3. Представим числа 16 и 81 в виде степеней с соответствующими основаниями.

Число 16 это $2^4$.

Число 81 это $3^4$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{16 \cdot 3^6}{81 \cdot 2^6} = \frac{2^4 \cdot 3^6}{3^4 \cdot 2^6}$

Для удобства сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^4}{2^6} \cdot \frac{3^6}{3^4}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$) для каждой дроби:

Для первой дроби: $\frac{2^4}{2^6} = 2^{4-6} = 2^{-2}$

Для второй дроби: $\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2$

Теперь перемножим полученные результаты:

$2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 9 = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$