Номер 6.8, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.8 Упростите выражение:

а) $ \frac{x^5 \cdot x^8}{x^3} $;

Б) $ \frac{a^{90} \cdot a^{10}}{a^{50}} $;

В) $ \frac{m^{20}}{m^8 \cdot m^8} $;

Г) $ \frac{y^{30}}{y^{15} \cdot y^{10}} $;

Д) $ \frac{b^3 \cdot b \cdot b^7}{b^5 \cdot b^4} $;

Е) $ \frac{c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6}{c \cdot c^{10} \cdot c^3} $.

а) Для упрощения выражения $\frac{x^5 \cdot x^8}{x^3}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$x^5 \cdot x^8 = x^{5+8} = x^{13}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{x^{13}}{x^3}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{x^{13}}{x^3} = x^{13-3} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$.

б) Упростим выражение $\frac{a^{90} \cdot a^{10}}{a^{50}}$.
В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{90} \cdot a^{10} = a^{90+10} = a^{100}$.
Получаем дробь: $\frac{a^{100}}{a^{50}}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^{100}}{a^{50}} = a^{100-50} = a^{50}$.
Ответ: $a^{50}$.

в) Упростим выражение $\frac{m^{20}}{m^8 \cdot m^8}$.
Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней: $m^8 \cdot m^8 = m^{8+8} = m^{16}$.
Выражение примет вид: $\frac{m^{20}}{m^{16}}$.
Теперь используем правило деления степеней: $\frac{m^{20}}{m^{16}} = m^{20-16} = m^4$.
Ответ: $m^4$.

г) Упростим выражение $\frac{y^{30}}{y^{15} \cdot y^{10}}$.
Упростим знаменатель по правилу умножения степеней: $y^{15} \cdot y^{10} = y^{15+10} = y^{25}$.
Получим дробь: $\frac{y^{30}}{y^{25}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{y^{30}}{y^{25}} = y^{30-25} = y^5$.
Ответ: $y^5$.

д) Упростим выражение $\frac{b^3 \cdot b \cdot b^7}{b^5 \cdot b^4}$.
Упростим числитель, помня, что $b = b^1$: $b^3 \cdot b^1 \cdot b^7 = b^{3+1+7} = b^{11}$.
Упростим знаменатель: $b^5 \cdot b^4 = b^{5+4} = b^9$.
Выражение принимает вид: $\frac{b^{11}}{b^9}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{b^{11}}{b^9} = b^{11-9} = b^2$.
Ответ: $b^2$.

е) Упростим выражение $\frac{c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6}{c \cdot c^{10} \cdot c^3}$.
Упростим числитель: $c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6 = c^{12+2+6} = c^{20}$.
Упростим знаменатель, помня, что $c = c^1$: $c^1 \cdot c^{10} \cdot c^3 = c^{1+10+3} = c^{14}$.
Выражение принимает вид: $\frac{c^{20}}{c^{14}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{c^{20}}{c^{14}} = c^{20-14} = c^6$.
Ответ: $c^6$.