Номер 6.10, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Многочлены - номер 6.10, страница 147.

Условие.

6.10 РАССУЖДАЕМ При каком значении k верно равенство:

a) $a^8 \cdot a^k = a^{12};$

б) $a^{20} = a^k \cdot a^{10};$

в) $x^{15} : x^k = x^{10};$

г) $x^k : x^8 = x^3;$

д) $25 \cdot 5^6 = 5^k;$

е) $36 \cdot 6^k = 6^8?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) В равенстве $a^8 \cdot a^k = a^{12}$ используется правило умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применив это правило к левой части уравнения, получим $a^{8+k}$. Таким образом, равенство принимает вид $a^{8+k} = a^{12}$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $8 + k = 12$. Решая это простое линейное уравнение, находим $k = 12 - 8$, что дает $k=4$.
Ответ: 4

б) В равенстве $a^{20} = a^k \cdot a^{10}$ также применяется правило умножения степеней с одинаковым основанием. Правая часть уравнения $a^k \cdot a^{10}$ преобразуется в $a^{k+10}$. Теперь равенство выглядит так: $a^{20} = a^{k+10}$. Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы: $20 = k + 10$. Отсюда находим $k = 20 - 10$, что дает $k=10$.
Ответ: 10

в) Равенство $x^{15} : x^k = x^{10}$ решается с помощью правила деления степеней с одинаковым основанием, по которому показатели степеней вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Преобразуем левую часть: $x^{15-k}$. Получаем уравнение $x^{15-k} = x^{10}$. Приравниваем показатели: $15 - k = 10$. Отсюда $k = 15 - 10$, следовательно, $k=5$.
Ответ: 5

г) В равенстве $x^k : x^8 = x^3$ используем то же правило деления степеней. Левая часть преобразуется в $x^{k-8}$. Уравнение принимает вид $x^{k-8} = x^3$. Приравниваем показатели: $k - 8 = 3$. Находим $k$, прибавив 8 к обеим частям: $k = 3 + 8$, что дает $k=11$.
Ответ: 11

д) В равенстве $25 \cdot 5^6 = 5^k$ необходимо привести все множители к одному основанию. Число 25 можно представить как степень числа 5: $25 = 5^2$. Подставив это в уравнение, получим: $5^2 \cdot 5^6 = 5^k$. Теперь, используя правило умножения степеней, складываем показатели: $5^{2+6} = 5^k$, или $5^8 = 5^k$. Отсюда следует, что $k=8$.
Ответ: 8

е) В равенстве $36 \cdot 6^k = 6^8$ действуем аналогично предыдущему пункту. Представим число 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$. Уравнение примет вид: $6^2 \cdot 6^k = 6^8$. Применяем правило умножения степеней и складываем показатели в левой части: $6^{2+k} = 6^8$. Приравнивая показатели, получаем $2 + k = 8$. Отсюда $k = 8 - 2$, что дает $k=6$.
Ответ: 6