Номер 6.9, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.9 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $\frac{3^{10} \cdot 3^5}{3^{12}};

б) $\frac{2^{17}}{2^9 \cdot 2^3};

в) $\frac{5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16}}{5^7 \cdot 5^{10}};$

г) $\frac{10^8 \cdot 10^6}{10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5}.$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{10} \cdot 3^5 = 3^{10+5} = 3^{15}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{3^{15}}{3^{12}}$.
Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{15}}{3^{12}} = 3^{15-12} = 3^3$.
Вычислим результат:
$3^3 = 27$.
Ответ: 27

б) Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^9 \cdot 2^3 = 2^{9+3} = 2^{12}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{2^{17}}{2^{12}}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{17}}{2^{12}} = 2^{17-12} = 2^5$.
Вычислим результат:
$2^5 = 32$.
Ответ: 32

в) Сначала упростим числитель и знаменатель дроби. Учтем, что $5$ можно представить как $5^1$.
В числителе, по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16} = 5^2 \cdot 5^1 \cdot 5^{16} = 5^{2+1+16} = 5^{19}$.
В знаменателе:
$5^7 \cdot 5^{10} = 5^{7+10} = 5^{17}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^{19}}{5^{17}}$.
Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{19}}{5^{17}} = 5^{19-17} = 5^2$.
Вычислим результат:
$5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Числитель:
$10^8 \cdot 10^6 = 10^{8+6} = 10^{14}$.
Знаменатель:
$10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5 = 10^{2+5+5} = 10^{12}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{10^{14}}{10^{12}}$.
Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{14}}{10^{12}} = 10^{14-12} = 10^2$.
Вычислим результат:
$10^2 = 100$.
Ответ: 100