Номер 6.14, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.1. Произведение и частное степеней. Глава 6. Многочлены - номер 6.14, страница 147.

Условие.

6.14 РАССУЖДАЕМ Сравните значения выражений:

a) $10^{11}$ и $11 \cdot 10^{10}$;

б) $5 \cdot 10^7$ и $0.5 \cdot 10^8$;

в) $(-4)^{18}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$;

г) $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $(-3)^{33}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Чтобы сравнить $10^{11}$ и $11 \cdot 10^{10}$, приведем оба выражения к одному и тому же множителю $10^{10}$.
Первое выражение: $10^{11} = 10 \cdot 10^{10}$.
Второе выражение: $11 \cdot 10^{10}$.
Теперь сравним $10 \cdot 10^{10}$ и $11 \cdot 10^{10}$. Так как $10^{10}$ — положительное число, нам достаточно сравнить коэффициенты $10$ и $11$.
Поскольку $10 < 11$, то и $10 \cdot 10^{10} < 11 \cdot 10^{10}$.
Следовательно, $10^{11} < 11 \cdot 10^{10}$.
Ответ: $10^{11} < 11 \cdot 10^{10}$.

б) Чтобы сравнить $5 \cdot 10^7$ и $0,5 \cdot 10^8$, приведем их к одинаковой степени числа $10$.
Преобразуем второе выражение: $0,5 \cdot 10^8 = 0,5 \cdot 10 \cdot 10^7 = 5 \cdot 10^7$.
Теперь мы сравниваем $5 \cdot 10^7$ и $5 \cdot 10^7$. Эти выражения равны.
Ответ: $5 \cdot 10^7 = 0,5 \cdot 10^8$.

в) Сравним $(-4)^{18}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$.
Сначала определим знаки выражений.
Первое выражение: $(-4)^{18}$. Поскольку степень четная (18), результат будет положительным: $(-4)^{18} = 4^{18} > 0$.
Второе выражение: $-5 \cdot (-4)^{17}$. Степень нечетная (17), поэтому $(-4)^{17}$ — отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел ($-5$ и $(-4)^{17}$) будет положительным: $-5 \cdot (-4)^{17} > 0$.
Теперь приведем выражения к общему множителю.
Первое выражение: $(-4)^{18} = -4 \cdot (-4)^{17}$.
Второе выражение: $-5 \cdot (-4)^{17}$.
Нам нужно сравнить $-4 \cdot (-4)^{17}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$. Множитель $(-4)^{17}$ является отрицательным числом. При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Сравним коэффициенты: $-4 > -5$.
Так как мы умножаем на отрицательное число $(-4)^{17}$, знак неравенства меняется: $-4 \cdot (-4)^{17} < -5 \cdot (-4)^{17}$.
Следовательно, $(-4)^{18} < -5 \cdot (-4)^{17}$.
Ответ: $(-4)^{18} < -5 \cdot (-4)^{17}$.

г) Сравним $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $(-3)^{33}$.
Приведем оба выражения к общему множителю $(-3)^{32}$.
Первое выражение: $-4 \cdot (-3)^{32}$.
Второе выражение: $(-3)^{33} = -3 \cdot (-3)^{32}$.
Теперь сравним $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $-3 \cdot (-3)^{32}$.
Множитель $(-3)^{32}$ является положительным числом, так как степень четная (32).
Поэтому для сравнения выражений достаточно сравнить их коэффициенты: $-4$ и $-3$.
Поскольку $-4 < -3$, то и $-4 \cdot (-3)^{32} < -3 \cdot (-3)^{32}$.
Следовательно, $-4 \cdot (-3)^{32} < (-3)^{33}$.
Ответ: $-4 \cdot (-3)^{32} < (-3)^{33}$.