Номер 6.16, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.16 АНАЛИЗИРУЕМ Дана таблица степеней числа 3.

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

$3^7 = 2187$

$3^8 = 6561$

$3^9 = 19683$

$3^{10} = 59049$

$3^{11} = 177147$

$3^{12} = 531441$

1) Пользуясь этой таблицей, вычислите:

a) $729 \cdot 81$;

б) $2187 \cdot 243$;

в) $\frac{177147}{729}$;

г) $\frac{59049 \cdot 6561}{2187}$.

2) Составьте несколько выражений, значения которых можно найти, пользуясь таблицей степеней числа 3.

1)

а) Чтобы вычислить $729 \cdot 81$, представим числа в виде степеней числа 3, используя данную таблицу. Из таблицы мы видим, что $729 = 3^6$ и $81 = 3^4$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $729 \cdot 81 = 3^6 \cdot 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$. Теперь найдем значение $3^{10}$ в таблице. Оно равно 59 049. Ответ: 59 049.

б) Для выражения $2187 \cdot 243$ найдем соответствующие степени в таблице: $2187 = 3^7$ и $243 = 3^5$. Используем свойство умножения степеней: $2187 \cdot 243 = 3^7 \cdot 3^5 = 3^{7+5} = 3^{12}$. Значение $3^{12}$ по таблице равно 531 441. Ответ: 531 441.

в) Для вычисления дроби $\frac{177147}{729}$ заменим числа их степенями из таблицы: $177147 = 3^{11}$ и $729 = 3^6$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{177147}{729} = \frac{3^{11}}{3^6} = 3^{11-6} = 3^5$. По таблице $3^5$ равно 243. Ответ: 243.

г) Для выражения $\frac{59049 \cdot 6561}{2187}$ представим все числа в виде степеней числа 3: $59049 = 3^{10}$, $6561 = 3^8$, $2187 = 3^7$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{3^{10} \cdot 3^8}{3^7}$. Сначала выполним умножение в числителе, сложив показатели: $\frac{3^{10+8}}{3^7} = \frac{3^{18}}{3^7}$. Затем выполним деление, вычтя показатели: $3^{18-7} = 3^{11}$. Значение $3^{11}$ из таблицы равно 177 147. Ответ: 177 147.

2)

Можно составить множество выражений, используя числа из таблицы и операции умножения и деления. Главное, чтобы итоговая степень числа 3 была в диапазоне от 1 до 12. Вот несколько примеров:

Пример 1: $27 \cdot 243$.
Решение: $27 \cdot 243 = 3^3 \cdot 3^5 = 3^{3+5} = 3^8$. Результат $3^8 = 6561$ есть в таблице.

Пример 2: $59049 : 81$.
Решение: $59049 : 81 = 3^{10} : 3^4 = 3^{10-4} = 3^6$. Результат $3^6 = 729$ есть в таблице.

Пример 3: $(531441 : 2187) \cdot 9$.
Решение: $(3^{12} : 3^7) \cdot 3^2 = 3^{12-7} \cdot 3^2 = 3^5 \cdot 3^2 = 3^{5+2} = 3^7$. Результат $3^7 = 2187$ есть в таблице.

Ответ: Например, $27 \cdot 243$; $59049 : 81$; $(531441 : 2187) \cdot 9$.