Страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.6 Чему равно значение выражения:

а) $\frac{10^{23}}{10^{20}}$;б) $\frac{2^{31}}{2^{27}}$;в) $\frac{10^{17}}{10^{20}}$;г) $\frac{6^{112}}{6^{114}}$;д) $\frac{5^4}{5^8}$;е) $\frac{2^{100}}{2^{105}}$?

а) Для нахождения значения выражения $\frac{10^{23}}{10^{20}}$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
В данном случае основание $a=10$, показатель степени в числителе $m=23$, а в знаменателе $n=20$.
Выполним вычитание показателей:$\frac{10^{23}}{10^{20}} = 10^{23-20} = 10^3$.
Вычислим значение $10^3$: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Ответ: 1000

б) Для выражения $\frac{2^{31}}{2^{27}}$ применим то же свойство частного степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Здесь основание $a=2$, $m=31$, $n=27$.
$\frac{2^{31}}{2^{27}} = 2^{31-27} = 2^4$.
Вычислим значение $2^4$: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16

в) В выражении $\frac{10^{17}}{10^{20}}$ основание $a=10$, $m=17$, $n=20$.
Используя свойство частного степеней, получаем: $\frac{10^{17}}{10^{20}} = 10^{17-20} = 10^{-3}$.
Степень с отрицательным показателем определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Следовательно, $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.
Ответ: 0,001

г) В выражении $\frac{6^{112}}{6^{114}}$ основание $a=6$, $m=112$, $n=114$.
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{6^{112}}{6^{114}} = 6^{112-114} = 6^{-2}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

д) Для выражения $\frac{5^4}{5^8}$ основание $a=5$, $m=4$, $n=8$.
Применим свойство частного степеней: $\frac{5^4}{5^8} = 5^{4-8} = 5^{-4}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем: $5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{625}$.
Ответ: $\frac{1}{625}$

е) Для выражения $\frac{2^{100}}{2^{105}}$ основание $a=2$, $m=100$, $n=105$.
Используем свойство частного степеней: $\frac{2^{100}}{2^{105}} = 2^{100-105} = 2^{-5}$.
Преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

6.7 Во сколько раз $6^{12}$ больше, чем $6^{10}$; $5^{118}$ меньше, чем $5^{121}$?

Во сколько раз $6^{12}$ больше, чем $6^{10}$
Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, необходимо разделить большее число ($6^{12}$) на меньшее ($6^{10}$).
Для этого воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Получаем следующее выражение:
$\frac{6^{12}}{6^{10}} = 6^{12-10} = 6^2$
Теперь вычислим результат:
$6^2 = 36$
Таким образом, число $6^{12}$ больше числа $6^{10}$ в 36 раз.
Ответ: в 36 раз.

Во сколько раз $5^{118}$ меньше, чем $5^{121}$
Чтобы определить, во сколько раз одно число меньше другого, нужно также разделить большее число ($5^{121}$) на меньшее ($5^{118}$).
Используем то же свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{121}}{5^{118}} = 5^{121-118} = 5^3$
Вычислим значение полученного выражения:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Следовательно, число $5^{118}$ меньше числа $5^{121}$ в 125 раз.
Ответ: в 125 раз.

6.8 Упростите выражение:

а) $ \frac{x^5 \cdot x^8}{x^3} $;

Б) $ \frac{a^{90} \cdot a^{10}}{a^{50}} $;

В) $ \frac{m^{20}}{m^8 \cdot m^8} $;

Г) $ \frac{y^{30}}{y^{15} \cdot y^{10}} $;

Д) $ \frac{b^3 \cdot b \cdot b^7}{b^5 \cdot b^4} $;

Е) $ \frac{c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6}{c \cdot c^{10} \cdot c^3} $.

а) Для упрощения выражения $\frac{x^5 \cdot x^8}{x^3}$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$x^5 \cdot x^8 = x^{5+8} = x^{13}$.
Теперь выражение имеет вид: $\frac{x^{13}}{x^3}$.
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
$\frac{x^{13}}{x^3} = x^{13-3} = x^{10}$.
Ответ: $x^{10}$.

б) Упростим выражение $\frac{a^{90} \cdot a^{10}}{a^{50}}$.
В числителе применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^{90} \cdot a^{10} = a^{90+10} = a^{100}$.
Получаем дробь: $\frac{a^{100}}{a^{50}}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^{100}}{a^{50}} = a^{100-50} = a^{50}$.
Ответ: $a^{50}$.

в) Упростим выражение $\frac{m^{20}}{m^8 \cdot m^8}$.
Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней: $m^8 \cdot m^8 = m^{8+8} = m^{16}$.
Выражение примет вид: $\frac{m^{20}}{m^{16}}$.
Теперь используем правило деления степеней: $\frac{m^{20}}{m^{16}} = m^{20-16} = m^4$.
Ответ: $m^4$.

г) Упростим выражение $\frac{y^{30}}{y^{15} \cdot y^{10}}$.
Упростим знаменатель по правилу умножения степеней: $y^{15} \cdot y^{10} = y^{15+10} = y^{25}$.
Получим дробь: $\frac{y^{30}}{y^{25}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{y^{30}}{y^{25}} = y^{30-25} = y^5$.
Ответ: $y^5$.

д) Упростим выражение $\frac{b^3 \cdot b \cdot b^7}{b^5 \cdot b^4}$.
Упростим числитель, помня, что $b = b^1$: $b^3 \cdot b^1 \cdot b^7 = b^{3+1+7} = b^{11}$.
Упростим знаменатель: $b^5 \cdot b^4 = b^{5+4} = b^9$.
Выражение принимает вид: $\frac{b^{11}}{b^9}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{b^{11}}{b^9} = b^{11-9} = b^2$.
Ответ: $b^2$.

е) Упростим выражение $\frac{c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6}{c \cdot c^{10} \cdot c^3}$.
Упростим числитель: $c^{12} \cdot c^2 \cdot c^6 = c^{12+2+6} = c^{20}$.
Упростим знаменатель, помня, что $c = c^1$: $c^1 \cdot c^{10} \cdot c^3 = c^{1+10+3} = c^{14}$.
Выражение принимает вид: $\frac{c^{20}}{c^{14}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{c^{20}}{c^{14}} = c^{20-14} = c^6$.
Ответ: $c^6$.

6.9 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

а) $\frac{3^{10} \cdot 3^5}{3^{12}};

б) $\frac{2^{17}}{2^9 \cdot 2^3};

в) $\frac{5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16}}{5^7 \cdot 5^{10}};$

г) $\frac{10^8 \cdot 10^6}{10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5}.$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{10} \cdot 3^5 = 3^{10+5} = 3^{15}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{3^{15}}{3^{12}}$.
Далее, используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{15}}{3^{12}} = 3^{15-12} = 3^3$.
Вычислим результат:
$3^3 = 27$.
Ответ: 27

б) Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^9 \cdot 2^3 = 2^{9+3} = 2^{12}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{2^{17}}{2^{12}}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{17}}{2^{12}} = 2^{17-12} = 2^5$.
Вычислим результат:
$2^5 = 32$.
Ответ: 32

в) Сначала упростим числитель и знаменатель дроби. Учтем, что $5$ можно представить как $5^1$.
В числителе, по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^2 \cdot 5 \cdot 5^{16} = 5^2 \cdot 5^1 \cdot 5^{16} = 5^{2+1+16} = 5^{19}$.
В знаменателе:
$5^7 \cdot 5^{10} = 5^{7+10} = 5^{17}$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^{19}}{5^{17}}$.
Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{5^{19}}{5^{17}} = 5^{19-17} = 5^2$.
Вычислим результат:
$5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Упростим числитель и знаменатель дроби, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Числитель:
$10^8 \cdot 10^6 = 10^{8+6} = 10^{14}$.
Знаменатель:
$10^2 \cdot 10^5 \cdot 10^5 = 10^{2+5+5} = 10^{12}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{10^{14}}{10^{12}}$.
Применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{14}}{10^{12}} = 10^{14-12} = 10^2$.
Вычислим результат:
$10^2 = 100$.
Ответ: 100

6.10 РАССУЖДАЕМ При каком значении k верно равенство:

a) $a^8 \cdot a^k = a^{12};$

б) $a^{20} = a^k \cdot a^{10};$

в) $x^{15} : x^k = x^{10};$

г) $x^k : x^8 = x^3;$

д) $25 \cdot 5^6 = 5^k;$

е) $36 \cdot 6^k = 6^8?$

а) В равенстве $a^8 \cdot a^k = a^{12}$ используется правило умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применив это правило к левой части уравнения, получим $a^{8+k}$. Таким образом, равенство принимает вид $a^{8+k} = a^{12}$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $8 + k = 12$. Решая это простое линейное уравнение, находим $k = 12 - 8$, что дает $k=4$.
Ответ: 4

б) В равенстве $a^{20} = a^k \cdot a^{10}$ также применяется правило умножения степеней с одинаковым основанием. Правая часть уравнения $a^k \cdot a^{10}$ преобразуется в $a^{k+10}$. Теперь равенство выглядит так: $a^{20} = a^{k+10}$. Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы: $20 = k + 10$. Отсюда находим $k = 20 - 10$, что дает $k=10$.
Ответ: 10

в) Равенство $x^{15} : x^k = x^{10}$ решается с помощью правила деления степеней с одинаковым основанием, по которому показатели степеней вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Преобразуем левую часть: $x^{15-k}$. Получаем уравнение $x^{15-k} = x^{10}$. Приравниваем показатели: $15 - k = 10$. Отсюда $k = 15 - 10$, следовательно, $k=5$.
Ответ: 5

г) В равенстве $x^k : x^8 = x^3$ используем то же правило деления степеней. Левая часть преобразуется в $x^{k-8}$. Уравнение принимает вид $x^{k-8} = x^3$. Приравниваем показатели: $k - 8 = 3$. Находим $k$, прибавив 8 к обеим частям: $k = 3 + 8$, что дает $k=11$.
Ответ: 11

д) В равенстве $25 \cdot 5^6 = 5^k$ необходимо привести все множители к одному основанию. Число 25 можно представить как степень числа 5: $25 = 5^2$. Подставив это в уравнение, получим: $5^2 \cdot 5^6 = 5^k$. Теперь, используя правило умножения степеней, складываем показатели: $5^{2+6} = 5^k$, или $5^8 = 5^k$. Отсюда следует, что $k=8$.
Ответ: 8

е) В равенстве $36 \cdot 6^k = 6^8$ действуем аналогично предыдущему пункту. Представим число 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$. Уравнение примет вид: $6^2 \cdot 6^k = 6^8$. Применяем правило умножения степеней и складываем показатели в левой части: $6^{2+k} = 6^8$. Приравнивая показатели, получаем $2 + k = 8$. Отсюда $k = 8 - 2$, что дает $k=6$.
Ответ: 6

6.11 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения:

а) $(1,3 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^2);$

б) $(2,4 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^3);$

в) $\frac{3,2 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^6};$

г) $\frac{56 \cdot 10^{27}}{2,8 \cdot 10^{25}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $(1,3 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^2)$, необходимо сгруппировать и перемножить десятичные дроби и степени с основанием 10 по отдельности, используя переместительное свойство умножения.
$(1,3 \cdot 10^3) \cdot (5 \cdot 10^2) = (1,3 \cdot 5) \cdot (10^3 \cdot 10^2)$.
Вычислим произведение десятичных дробей: $1,3 \cdot 5 = 6,5$.
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, вычислим произведение степеней: $10^3 \cdot 10^2 = 10^{3+2} = 10^5$.
Теперь перемножим полученные результаты: $6,5 \cdot 10^5 = 6,5 \cdot 100000 = 650000$.
Ответ: $650000$.

б) Решим это выражение аналогично предыдущему. Сгруппируем множители:
$(2,4 \cdot 10^3) \cdot (3 \cdot 10^3) = (2,4 \cdot 3) \cdot (10^3 \cdot 10^3)$.
Вычислим произведение десятичных дробей: $2,4 \cdot 3 = 7,2$.
Вычислим произведение степеней: $10^3 \cdot 10^3 = 10^{3+3} = 10^6$.
Теперь перемножим результаты: $7,2 \cdot 10^6 = 7,2 \cdot 1000000 = 7200000$.
Ответ: $7200000$.

в) Для вычисления значения выражения $\frac{3,2 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^6}$, разделим его на две части: деление чисел и деление степеней.
$\frac{3,2 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^6} = \frac{3,2}{2} \cdot \frac{10^9}{10^6}$.
Выполним деление чисел: $\frac{3,2}{2} = 1,6$.
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, вычислим частное степеней: $\frac{10^9}{10^6} = 10^{9-6} = 10^3$.
Теперь перемножим полученные результаты: $1,6 \cdot 10^3 = 1,6 \cdot 1000 = 1600$.
Ответ: $1600$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{56 \cdot 10^{27}}{2,8 \cdot 10^{25}}$, разделим отдельно числа и степени.
$\frac{56 \cdot 10^{27}}{2,8 \cdot 10^{25}} = \frac{56}{2,8} \cdot \frac{10^{27}}{10^{25}}$.
Выполним деление чисел. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дроби в знаменателе: $\frac{56}{2,8} = \frac{560}{28} = 20$.
Выполним деление степеней: $\frac{10^{27}}{10^{25}} = 10^{27-25} = 10^2$.
Теперь перемножим результаты: $20 \cdot 10^2 = 20 \cdot 100 = 2000$.
Ответ: $2000$.

6.12 Выполните умножение:

а) $4xy \cdot 3y^7;$

б) $2xy^2 \cdot 2xy^2;$

в) $10a^2b \cdot 0,1ab^5;$

г) $2p^2c^3 \cdot 3p^2c;$

д) $-m \cdot 4m^3n^4;$

е) $-c^2d \cdot 2c^3d;$

ж) $6a^5b^3 \cdot (-4ab^2);$

з) $-xy \cdot (-x^3y^2);$

и) $-2a^2 \cdot (-0,5ax^4).$

а) Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно перемножить их числовые коэффициенты и сложить показатели степеней у одинаковых переменных.
$4xy \cdot 3y^7 = (4 \cdot 3) \cdot x \cdot (y^1 \cdot y^7)$
Перемножаем коэффициенты: $4 \cdot 3 = 12$.
Перемножаем переменные. Для $y$ складываем показатели степеней: $y^1 \cdot y^7 = y^{1+7} = y^8$.
В результате получаем: $12xy^8$.
Ответ: $12xy^8$

б) Перемножаем одночлены $2xy^2$ и $2xy^2$.
$2xy^2 \cdot 2xy^2 = (2 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^2)$
Коэффициенты: $2 \cdot 2 = 4$.
Переменные: $x^1 \cdot x^1 = x^{1+1} = x^2$ и $y^2 \cdot y^2 = y^{2+2} = y^4$.
Соединяем все части: $4x^2y^4$.
Ответ: $4x^2y^4$

в) Выполняем умножение $10a^2b \cdot 0,1ab^5$.
$10a^2b \cdot 0,1ab^5 = (10 \cdot 0,1) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^5)$
Коэффициенты: $10 \cdot 0,1 = 1$.
Переменные: $a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3$ и $b^1 \cdot b^5 = b^{1+5} = b^6$.
Результат: $1 \cdot a^3b^6 = a^3b^6$.
Ответ: $a^3b^6$

г) Умножаем одночлены $2p^2c^3$ и $3p^2c$.
$2p^2c^3 \cdot 3p^2c = (2 \cdot 3) \cdot (p^2 \cdot p^2) \cdot (c^3 \cdot c)$
Коэффициенты: $2 \cdot 3 = 6$.
Переменные: $p^2 \cdot p^2 = p^{2+2} = p^4$ и $c^3 \cdot c^1 = c^{3+1} = c^4$.
Итоговый одночлен: $6p^4c^4$.
Ответ: $6p^4c^4$

д) Выполняем умножение $-m \cdot 4m^3n^4$.
$-m \cdot 4m^3n^4 = (-1 \cdot 4) \cdot (m \cdot m^3) \cdot n^4$
Коэффициенты: $-1 \cdot 4 = -4$.
Переменные: $m^1 \cdot m^3 = m^{1+3} = m^4$. Переменная $n^4$ остается без изменений.
Получаем: $-4m^4n^4$.
Ответ: $-4m^4n^4$

е) Умножаем одночлены $-c^2d$ и $2c^3d$.
$-c^2d \cdot 2c^3d = (-1 \cdot 2) \cdot (c^2 \cdot c^3) \cdot (d \cdot d)$
Коэффициенты: $-1 \cdot 2 = -2$.
Переменные: $c^2 \cdot c^3 = c^{2+3} = c^5$ и $d^1 \cdot d^1 = d^{1+1} = d^2$.
Результат: $-2c^5d^2$.
Ответ: $-2c^5d^2$

ж) Выполняем умножение $6a^5b^3 \cdot (-4ab^2)$.
$6a^5b^3 \cdot (-4ab^2) = (6 \cdot (-4)) \cdot (a^5 \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b^2)$
Коэффициенты: $6 \cdot (-4) = -24$.
Переменные: $a^5 \cdot a^1 = a^{5+1} = a^6$ и $b^3 \cdot b^2 = b^{3+2} = b^5$.
Результат: $-24a^6b^5$.
Ответ: $-24a^6b^5$

з) Умножаем $-xy$ на $(-x^3y^2)$.
$-xy \cdot (-x^3y^2) = (-1 \cdot (-1)) \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y \cdot y^2)$
Коэффициенты: $-1 \cdot (-1) = 1$.
Переменные: $x^1 \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4$ и $y^1 \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$.
Получаем: $1 \cdot x^4y^3 = x^4y^3$.
Ответ: $x^4y^3$

и) Выполняем умножение $-2a^2 \cdot (-0,5ax^4)$.
$-2a^2 \cdot (-0,5ax^4) = (-2 \cdot (-0,5)) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot x^4$
Коэффициенты: $-2 \cdot (-0,5) = 1$.
Переменные: $a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3$. Переменная $x^4$ остается без изменений.
Результат: $1 \cdot a^3x^4 = a^3x^4$.
Ответ: $a^3x^4$

6.13 Сократите дробь:

1) а) $\frac{36a^6}{9a^4}$;

б) $\frac{12x^7}{6x^3}$;

в) $\frac{8y^4 \cdot 6y^2}{12y^3}$;

г) $\frac{5c \cdot 8c^4}{4c^3}$;

д) $\frac{4x \cdot 5x^4}{2x^5}$.

2) а) $\frac{xy^3}{y^9}$;

б) $\frac{z^5c}{z^7}$;

в) $\frac{a^2b}{a^3b}$;

г) $\frac{3y^3}{xy^4}$;

д) $\frac{2m^4}{m^5n}$.

1) а) Чтобы сократить дробь $ \frac{36a^6}{9a^4} $, мы отдельно сокращаем числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{36}{9} = 4 $.
Сокращаем степени переменной $a$ по свойству степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ \frac{a^6}{a^4} = a^{6-4} = a^2 $.
Результат: $ 4a^2 $.
Ответ: $ 4a^2 $

1) б) Сокращаем дробь $ \frac{12x^7}{6x^3} $.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{12}{6} = 2 $.
Сокращаем степени переменной $x$: $ \frac{x^7}{x^3} = x^{7-3} = x^4 $.
Результат: $ 2x^4 $.
Ответ: $ 2x^4 $

1) в) Сокращаем дробь $ \frac{8y^4 \cdot 6y^2}{12y^3} $.
Сначала упростим числитель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $ 8y^4 \cdot 6y^2 = (8 \cdot 6) \cdot (y^4 \cdot y^2) = 48y^{4+2} = 48y^6 $.
Теперь дробь имеет вид $ \frac{48y^6}{12y^3} $.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{48}{12} = 4 $.
Сокращаем степени переменной $y$: $ \frac{y^6}{y^3} = y^{6-3} = y^3 $.
Результат: $ 4y^3 $.
Ответ: $ 4y^3 $

1) г) Сокращаем дробь $ \frac{5c \cdot 8c^4}{4c^3} $.
Упростим числитель: $ 5c \cdot 8c^4 = (5 \cdot 8) \cdot (c^1 \cdot c^4) = 40c^{1+4} = 40c^5 $.
Дробь принимает вид $ \frac{40c^5}{4c^3} $.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{40}{4} = 10 $.
Сокращаем степени переменной $c$: $ \frac{c^5}{c^3} = c^{5-3} = c^2 $.
Результат: $ 10c^2 $.
Ответ: $ 10c^2 $

1) д) Сокращаем дробь $ \frac{4x \cdot 5x^4}{2x^5} $.
Упростим числитель: $ 4x \cdot 5x^4 = (4 \cdot 5) \cdot (x^1 \cdot x^4) = 20x^{1+4} = 20x^5 $.
Дробь принимает вид $ \frac{20x^5}{2x^5} $.
Сокращаем коэффициенты: $ \frac{20}{2} = 10 $.
Сокращаем степени переменной $x$: $ \frac{x^5}{x^5} = x^{5-5} = x^0 = 1 $.
Результат: $ 10 \cdot 1 = 10 $.
Ответ: $ 10 $

2) а) Сокращаем дробь $ \frac{xy^3}{y^9} $.
Переменная $x$ остается в числителе.
Сокращаем степени переменной $y$: $ \frac{y^3}{y^9} = y^{3-9} = y^{-6} = \frac{1}{y^6} $.
Результат: $ x \cdot \frac{1}{y^6} = \frac{x}{y^6} $.
Ответ: $ \frac{x}{y^6} $

2) б) Сокращаем дробь $ \frac{z^5c}{z^7} $.
Переменная $c$ остается в числителе.
Сокращаем степени переменной $z$: $ \frac{z^5}{z^7} = z^{5-7} = z^{-2} = \frac{1}{z^2} $.
Результат: $ c \cdot \frac{1}{z^2} = \frac{c}{z^2} $.
Ответ: $ \frac{c}{z^2} $

2) в) Сокращаем дробь $ \frac{a^2b}{a^3b} $.
Сокращаем степени переменной $a$: $ \frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.
Сокращаем степени переменной $b$: $ \frac{b}{b} = b^{1-1} = b^0 = 1 $.
Результат: $ \frac{1}{a} \cdot 1 = \frac{1}{a} $.
Ответ: $ \frac{1}{a} $

2) г) Сокращаем дробь $ \frac{3y^3}{xy^4} $.
Коэффициент 3 остается в числителе, переменная $x$ - в знаменателе.
Сокращаем степени переменной $y$: $ \frac{y^3}{y^4} = y^{3-4} = y^{-1} = \frac{1}{y} $.
Результат: $ \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{xy} $.
Ответ: $ \frac{3}{xy} $

2) д) Сокращаем дробь $ \frac{2m^4}{m^5n} $.
Коэффициент 2 остается в числителе, переменная $n$ - в знаменателе.
Сокращаем степени переменной $m$: $ \frac{m^4}{m^5} = m^{4-5} = m^{-1} = \frac{1}{m} $.
Результат: $ \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{m} = \frac{2}{mn} $.
Ответ: $ \frac{2}{mn} $

6.14 РАССУЖДАЕМ Сравните значения выражений:

a) $10^{11}$ и $11 \cdot 10^{10}$;

б) $5 \cdot 10^7$ и $0.5 \cdot 10^8$;

в) $(-4)^{18}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$;

г) $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $(-3)^{33}$.

а) Чтобы сравнить $10^{11}$ и $11 \cdot 10^{10}$, приведем оба выражения к одному и тому же множителю $10^{10}$.
Первое выражение: $10^{11} = 10 \cdot 10^{10}$.
Второе выражение: $11 \cdot 10^{10}$.
Теперь сравним $10 \cdot 10^{10}$ и $11 \cdot 10^{10}$. Так как $10^{10}$ — положительное число, нам достаточно сравнить коэффициенты $10$ и $11$.
Поскольку $10 < 11$, то и $10 \cdot 10^{10} < 11 \cdot 10^{10}$.
Следовательно, $10^{11} < 11 \cdot 10^{10}$.
Ответ: $10^{11} < 11 \cdot 10^{10}$.

б) Чтобы сравнить $5 \cdot 10^7$ и $0,5 \cdot 10^8$, приведем их к одинаковой степени числа $10$.
Преобразуем второе выражение: $0,5 \cdot 10^8 = 0,5 \cdot 10 \cdot 10^7 = 5 \cdot 10^7$.
Теперь мы сравниваем $5 \cdot 10^7$ и $5 \cdot 10^7$. Эти выражения равны.
Ответ: $5 \cdot 10^7 = 0,5 \cdot 10^8$.

в) Сравним $(-4)^{18}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$.
Сначала определим знаки выражений.
Первое выражение: $(-4)^{18}$. Поскольку степень четная (18), результат будет положительным: $(-4)^{18} = 4^{18} > 0$.
Второе выражение: $-5 \cdot (-4)^{17}$. Степень нечетная (17), поэтому $(-4)^{17}$ — отрицательное число. Произведение двух отрицательных чисел ($-5$ и $(-4)^{17}$) будет положительным: $-5 \cdot (-4)^{17} > 0$.
Теперь приведем выражения к общему множителю.
Первое выражение: $(-4)^{18} = -4 \cdot (-4)^{17}$.
Второе выражение: $-5 \cdot (-4)^{17}$.
Нам нужно сравнить $-4 \cdot (-4)^{17}$ и $-5 \cdot (-4)^{17}$. Множитель $(-4)^{17}$ является отрицательным числом. При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Сравним коэффициенты: $-4 > -5$.
Так как мы умножаем на отрицательное число $(-4)^{17}$, знак неравенства меняется: $-4 \cdot (-4)^{17} < -5 \cdot (-4)^{17}$.
Следовательно, $(-4)^{18} < -5 \cdot (-4)^{17}$.
Ответ: $(-4)^{18} < -5 \cdot (-4)^{17}$.

г) Сравним $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $(-3)^{33}$.
Приведем оба выражения к общему множителю $(-3)^{32}$.
Первое выражение: $-4 \cdot (-3)^{32}$.
Второе выражение: $(-3)^{33} = -3 \cdot (-3)^{32}$.
Теперь сравним $-4 \cdot (-3)^{32}$ и $-3 \cdot (-3)^{32}$.
Множитель $(-3)^{32}$ является положительным числом, так как степень четная (32).
Поэтому для сравнения выражений достаточно сравнить их коэффициенты: $-4$ и $-3$.
Поскольку $-4 < -3$, то и $-4 \cdot (-3)^{32} < -3 \cdot (-3)^{32}$.
Следовательно, $-4 \cdot (-3)^{32} < (-3)^{33}$.
Ответ: $-4 \cdot (-3)^{32} < (-3)^{33}$.