Страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Какие из следующих выражений являются одночленами, а какие нет?

1) $6x^5y$

2) $x$

3) $\frac{2a}{x}$

4) $17$

5) $b+4$

6) $\frac{1}{3}ac^3$

Для того чтобы определить, какие из выражений являются одночленами, необходимо вспомнить определение. Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (целыми неотрицательными) показателями. Важно, что одночлен не может содержать операций сложения, вычитания или деления на переменную.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1) Выражение $6x^5y$ представляет собой произведение числового коэффициента $6$ и переменных $x$ и $y$, возведенных в степени $5$ и $1$ соответственно. Показатели степеней являются целыми неотрицательными числами. В выражении отсутствуют операции сложения, вычитания или деления на переменную. Следовательно, это одночлен.
Ответ: является одночленом.

2) Выражение $x$ является отдельной переменной. Любая переменная, как и любое число, по определению считается одночленом. Ее можно представить как $1 \cdot x^1$.
Ответ: является одночленом.

3) Выражение $\frac{2a}{x}$ содержит деление на переменную $x$. Наличие деления на переменную означает, что данное выражение не является одночленом. Это рациональная дробь.
Ответ: не является одночленом.

4) Выражение $17$ является числом (константой). Любое число по определению является одночленом.
Ответ: является одночленом.

5) Выражение $b+4$ представляет собой сумму двух слагаемых: переменной $b$ и числа $4$. Так как в выражении есть операция сложения, оно не является одночленом. Это многочлен, а точнее — двучлен (бином).
Ответ: не является одночленом.

6) Выражение $\frac{1}{3}ac^3$ является произведением числового коэффициента $\frac{1}{3}$ и переменных $a$ и $c$ в степенях $1$ и $3$. Деление происходит на число $3$, а не на переменную, что допустимо для одночлена. Показатели степеней — целые неотрицательные числа. Следовательно, это выражение является одночленом.
Ответ: является одночленом.

Итог:
Являются одночленами выражения: 1) $6x^5y$, 2) $x$, 4) $17$, 6) $\frac{1}{3}ac^3$.
Не являются одночленами выражения: 3) $\frac{2a}{x}$, 5) $b+4$.

Назовите все члены многочлена и коэффициенты членов, содержащих буквенные множители:

а) $8a^3 - 12a^2b + ab^2 - b^3$;

б) $m^3 + 2m^2 - 9m + 2$.

а) Рассматривается многочлен $8a^3 - 12a^2b + ab^2 - b^3$.

Многочлен — это сумма одночленов. Чтобы найти все члены данного многочлена, нужно выделить каждый одночлен, включая его знак.

Члены многочлена:

• $8a^3$
• $-12a^2b$
• $ab^2$
• $-b^3$

Теперь найдем коэффициенты для каждого члена, содержащего буквенные множители. В данном многочлене все члены содержат буквенные множители (переменные $a$ и $b$). Коэффициент — это числовая часть члена.

• У члена $8a^3$ коэффициент равен $8$.
• У члена $-12a^2b$ коэффициент равен $-12$.
• У члена $ab^2$ коэффициент равен $1$, так как $ab^2$ это то же самое, что и $1 \cdot ab^2$.
• У члена $-b^3$ коэффициент равен $-1$, так как $-b^3$ это то же самое, что и $-1 \cdot b^3$.

Ответ: Члены многочлена: $8a^3$, $-12a^2b$, $ab^2$, $-b^3$. Коэффициенты членов, содержащих буквенные множители, равны соответственно $8$, $-12$, $1$, $-1$.

б) Рассматривается многочлен $m^3 + 2m^2 - 9m + 2$.

Членами данного многочлена являются:

• $m^3$
• $2m^2$
• $-9m$
• $2$ (этот член называется свободным членом, так как не содержит буквенных множителей)

Теперь найдем коэффициенты только тех членов, которые содержат буквенные множители (переменную $m$). Это члены $m^3$, $2m^2$ и $-9m$.

• У члена $m^3$ коэффициент равен $1$.
• У члена $2m^2$ коэффициент равен $2$.
• У члена $-9m$ коэффициент равен $-9$.

Ответ: Члены многочлена: $m^3$, $2m^2$, $-9m$, $2$. Коэффициенты членов, содержащих буквенные множители, равны соответственно $1$, $2$, $-9$.

Дан многочлен с одной переменной: $-3x^4 + 2x^2 - x - 10$. Назовите коэффициенты членов многочлена, содержащих букву; назовите свободный член многочлена; определите степень многочлена.

Дан многочлен с одной переменной: $-3x^4 + 2x^2 - x - 10$. Разберем его по частям согласно заданию.

Назовите коэффициенты членов многочлена, содержащих букву

Многочлен состоит из членов (одночленов): $-3x^4$, $+2x^2$, $-x$ и $-10$.
Члены, содержащие букву (переменную $x$), это $-3x^4$, $2x^2$ и $-x$.
Коэффициент — это числовой множитель в члене многочлена.

• У члена $-3x^4$ коэффициент равен $-3$.
• У члена $2x^2$ коэффициент равен $2$.
• Член $-x$ можно представить как $-1 \cdot x$, поэтому его коэффициент равен $-1$.

Ответ: коэффициенты членов многочлена, содержащих букву, это $-3$, $2$ и $-1$.

назовите свободный член многочлена

Свободный член — это член многочлена, который не содержит переменную (букву). В данном многочлене таким членом является $-10$.
Ответ: свободный член многочлена равен $-10$.

определите степень многочлена

Степенью многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
Рассмотрим степени всех членов многочлена $-3x^4 + 2x^2 - x - 10$:

• Степень члена $-3x^4$ равна $4$.
• Степень члена $2x^2$ равна $2$.
• Степень члена $-x$ (или $-x^1$) равна $1$.
• Степень свободного члена $-10$ (или $-10x^0$) равна $0$.

Наибольшая из этих степеней — $4$.
Ответ: степень многочлена равна $4$.

Какое из следующих утверждений неверно?

1) $3xy$ — трёхчлен

2) $3xy$ — одночлен

3) $3xy$ — многочлен

4) $3 + x + y$ — трёхчлен

Для того чтобы определить, какое из утверждений неверно, необходимо проанализировать каждое из них на основе определений основных понятий алгебры.

• Одночлен — это выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней. Например, $7$, $x^2$, $5ab$.
• Многочлен — это сумма одного или нескольких одночленов. Важно, что любой одночлен также является многочленом.
• Трёхчлен — это многочлен, состоящий ровно из трёх одночленов. Например, $x^2 + 2x + 1$.

Теперь рассмотрим каждое утверждение:

1) $3xy$ — трёхчлен

Выражение $3xy$ является произведением числа $3$ и переменных $x$ и $y$. Оно состоит из одного члена. Согласно определению, трёхчлен должен состоять из трёх членов. Следовательно, это утверждение неверно.

2) $3xy$ — одночлен

Выражение $3xy$ является произведением числа и переменных, что полностью соответствует определению одночлена. Следовательно, это утверждение верно.

3) $3xy$ — многочлен

Поскольку многочлен — это сумма одного или более одночленов, то любой одночлен является частным случаем многочлена (состоящего из одного члена). Таким образом, $3xy$ можно считать многочленом. Следовательно, это утверждение верно.

4) $3 + x + y$ — трёхчлен

Выражение $3 + x + y$ является суммой трёх одночленов: $3$, $x$ и $y$. По определению, это трёхчлен. Следовательно, это утверждение верно.

Вопрос заключается в том, чтобы найти неверное утверждение. По результатам анализа, единственным неверным утверждением является первое.

Ответ: 1

6.43 Представьте в стандартном виде многочлен:

а) $6a \cdot 0.5 - 3a \cdot 2x + 2a \cdot 7a$;

б) $8x^2 - 4x + x + 1$.

а)

Чтобы представить многочлен в стандартном виде, нужно сначала каждый его член (одночлен) привести к стандартному виду, а затем привести подобные слагаемые.

Исходный многочлен: $6a \cdot 0,5 - 3a \cdot 2x + 2a \cdot 7a$.

1. Приведем к стандартному виду каждый член многочлена, перемножив числовые коэффициенты и переменные:
Первый член: $6a \cdot 0,5 = (6 \cdot 0,5)a = 3a$.
Второй член: $-3a \cdot 2x = (-3 \cdot 2)ax = -6ax$.
Третий член: $2a \cdot 7a = (2 \cdot 7)(a \cdot a) = 14a^2$.

2. Запишем многочлен, подставив упрощенные члены:
$3a - 6ax + 14a^2$.

3. Проверим, есть ли подобные члены. Подобных членов (членов с одинаковой буквенной частью) в данном многочлене нет.

4. Для стандартного вида расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $a$:
$14a^2 - 6ax + 3a$.

Ответ: $14a^2 - 6ax + 3a$.

б)

Исходный многочлен: $8x^2 - 4x + x + 1$.

1. Все члены этого многочлена уже представлены в стандартном виде.

2. Найдем и приведем подобные члены. Подобными являются члены $-4x$ и $+x$, так как они имеют одинаковую буквенную часть $x$.
Сложим их коэффициенты: $-4x + x = (-4 + 1)x = -3x$.

3. Запишем полученный многочлен, заменив подобные члены их суммой:
$8x^2 - 3x + 1$.

Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $x$. Это и есть стандартный вид многочлена.

Ответ: $8x^2 - 3x + 1$.