Страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Приведите подобные члены многочлена (6.53–6.54).

6.53 а) $12n^2 + 5m - n^2 - 4m;$

б) $-a^2 - b^2 + 2a^2 - b^2;$

в) $2m^3 + n^2 - 1 - n^2 + 2m^3;$

г) $3x^3 - 2y - 5x^3 - 2 + 2y - 7.$

а) Чтобы привести подобные члены в многочлене $12n^2 + 5m - n^2 - 4m$, необходимо сгруппировать и сложить члены с одинаковой буквенной частью.
Сгруппируем члены с переменной $n^2$ и члены с переменной $m$:
$(12n^2 - n^2) + (5m - 4m)$
Теперь выполним действия в каждой группе, складывая коэффициенты:
$12n^2 - n^2 = (12 - 1)n^2 = 11n^2$
$5m - 4m = (5 - 4)m = m$
Соединив полученные результаты, получаем итоговый многочлен.
Ответ: $11n^2 + m$

б) В многочлене $-a^2 - b^2 + 2a^2 - b^2$ найдем и сгруппируем подобные члены. Подобными являются $-a^2$ и $2a^2$, а также $-b^2$ и $-b^2$.
Сгруппируем их:
$(-a^2 + 2a^2) + (-b^2 - b^2)$
Выполним сложение коэффициентов в каждой группе:
$-a^2 + 2a^2 = (-1 + 2)a^2 = a^2$
$-b^2 - b^2 = (-1 - 1)b^2 = -2b^2$
Результатом будет сумма этих членов.
Ответ: $a^2 - 2b^2$

в) В многочлене $2m^3 + n^2 - 1 - n^2 + 2m^3$ подобными являются члены $2m^3$ и $2m^3$, а также $n^2$ и $-n^2$. Свободный член $-1$ не имеет подобных.
Сгруппируем и сложим их:
$(2m^3 + 2m^3) + (n^2 - n^2) - 1$
$2m^3 + 2m^3 = (2 + 2)m^3 = 4m^3$
$n^2 - n^2 = (1 - 1)n^2 = 0$
Сложив результаты, получаем: $4m^3 + 0 - 1$.
Ответ: $4m^3 - 1$

г) В многочлене $3x^3 - 2y - 5x^3 - 2 + 2y - 7$ найдем три группы подобных членов: с $x^3$, с $y$ и свободные члены (константы).
Сгруппируем их:
$(3x^3 - 5x^3) + (-2y + 2y) + (-2 - 7)$
Выполним действия в каждой группе:
$3x^3 - 5x^3 = (3 - 5)x^3 = -2x^3$
$-2y + 2y = (-2 + 2)y = 0$
$-2 - 7 = -9$
Суммируем полученные значения: $-2x^3 + 0 - 9$.
Ответ: $-2x^3 - 9$

6.54 a) $0.5c^4 + 0.3c^2 + c^3 - 0.5c^2$;

б) $1.4z^3 - 0.1z^2 - 0.4z^3 + 1$;

в) $a^2 + a + \frac{1}{4}a^2 - a$;

г) $\frac{1}{2}m^5 - \frac{1}{4}m^3 + m^3 - \frac{3}{4}m^5$;

д) $\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^3 - x - \frac{2}{3}x^3 + 3$;

е) $\frac{2}{5}b^2 + b - \frac{3}{5}b^2 + \frac{1}{4}b$.

а) В выражении $0,5c^4 + 0,3c^2 + c^3 - 0,5c^2$ необходимо найти и привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. В данном случае это $0,3c^2$ и $-0,5c^2$. Сгруппируем их и выполним вычитание коэффициентов: $0,5c^4 + c^3 + (0,3c^2 - 0,5c^2) = 0,5c^4 + c^3 + (0,3 - 0,5)c^2 = 0,5c^4 + c^3 - 0,2c^2$. Расположим члены многочлена в стандартном виде (в порядке убывания степеней).
Ответ: $0,5c^4 + c^3 - 0,2c^2$.

б) В выражении $1,4z^3 - 0,1z^2 - 0,4z^3 + 1$ подобными слагаемыми являются $1,4z^3$ и $-0,4z^3$. Сгруппируем и упростим их: $(1,4z^3 - 0,4z^3) - 0,1z^2 + 1 = (1,4 - 0,4)z^3 - 0,1z^2 + 1 = 1z^3 - 0,1z^2 + 1 = z^3 - 0,1z^2 + 1$.
Ответ: $z^3 - 0,1z^2 + 1$.

в) В выражении $a^2 + a + \frac{1}{4}a^2 - a$ есть две пары подобных слагаемых: $a^2$ и $\frac{1}{4}a^2$, а также $a$ и $-a$. Сгруппируем их и выполним действия: $(a^2 + \frac{1}{4}a^2) + (a - a) = (1 \cdot a^2 + \frac{1}{4}a^2) + (1 \cdot a - 1 \cdot a) = (1 + \frac{1}{4})a^2 + (1-1)a = (\frac{4}{4} + \frac{1}{4})a^2 + 0 \cdot a = \frac{5}{4}a^2$.
Ответ: $\frac{5}{4}a^2$.

г) В выражении $\frac{1}{2}m^5 - \frac{1}{4}m^3 + m^3 - \frac{3}{4}m^5$ сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{1}{2}m^5 - \frac{3}{4}m^5) + (-\frac{1}{4}m^3 + m^3)$. Приведем коэффициенты к общему знаменателю и сложим: $(\frac{2}{4}m^5 - \frac{3}{4}m^5) + (-\frac{1}{4}m^3 + \frac{4}{4}m^3) = (\frac{2-3}{4})m^5 + (\frac{-1+4}{4})m^3 = -\frac{1}{4}m^5 + \frac{3}{4}m^3$.
Ответ: $-\frac{1}{4}m^5 + \frac{3}{4}m^3$.

д) В выражении $\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^3 - x - \frac{2}{3}x^3 + 3$ сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{3}x^3) + (\frac{1}{3}x - x) + 3$. Приведем подобные слагаемые: $(\frac{2}{3} - \frac{2}{3})x^3 = 0 \cdot x^3 = 0$. $(\frac{1}{3} - 1)x = (\frac{1}{3} - \frac{3}{3})x = -\frac{2}{3}x$. Свободный член $3$ остается без изменений. Итоговое выражение: $0 - \frac{2}{3}x + 3 = -\frac{2}{3}x + 3$.
Ответ: $-\frac{2}{3}x + 3$.

е) В выражении $\frac{2}{5}b^2 + b - \frac{3}{5}b^2 + \frac{1}{4}b$ сгруппируем подобные слагаемые: $(\frac{2}{5}b^2 - \frac{3}{5}b^2) + (b + \frac{1}{4}b)$. Выполним действия с коэффициентами: Для $b^2$: $(\frac{2}{5} - \frac{3}{5})b^2 = -\frac{1}{5}b^2$. Для $b$: $(1 + \frac{1}{4})b = (\frac{4}{4} + \frac{1}{4})b = \frac{5}{4}b$. Запишем итоговый многочлен в стандартном виде: $-\frac{1}{5}b^2 + \frac{5}{4}b$.
Ответ: $-\frac{1}{5}b^2 + \frac{5}{4}b$.

6.55 Упростите:

а) $3a^2b - ab^2 - a^2b + 2ab^2;$

б) $mn - 7mn^2 - mn - 7mn^2;$

в) $10xy - xy^2 - 10xy + x^2y;$

г) $5xz^2 - 4x^2z + xz - 5xz^2.$

а) Чтобы упростить данное выражение, нужно найти и привести подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В выражении $3a^2b - ab^2 - a^2b + 2ab^2$ есть две группы подобных слагаемых:

1. Слагаемые с буквенной частью $a^2b$: $3a^2b$ и $-a^2b$.

2. Слагаемые с буквенной частью $ab^2$: $-ab^2$ и $2ab^2$.

Сгруппируем и сложим их:

$(3a^2b - a^2b) + (-ab^2 + 2ab^2) = (3-1)a^2b + (-1+2)ab^2 = 2a^2b + 1ab^2 = 2a^2b + ab^2$.

Ответ: $2a^2b + ab^2$.

б) В выражении $mn - 7mn^2 - mn - 7mn^2$ также найдем и сгруппируем подобные слагаемые:

1. Слагаемые с буквенной частью $mn$: $mn$ и $-mn$.

2. Слагаемые с буквенной частью $mn^2$: $-7mn^2$ и $-7mn^2$.

Выполним действия с ними:

$(mn - mn) + (-7mn^2 - 7mn^2) = (1-1)mn + (-7-7)mn^2 = 0 \cdot mn - 14mn^2 = -14mn^2$.

Ответ: $-14mn^2$.

в) Рассмотрим выражение $10xy - xy^2 - 10xy + x^2y$.

Здесь подобными являются только слагаемые $10xy$ и $-10xy$. Слагаемые $-xy^2$ и $x^2y$ не являются подобными, так как у них разные степени у переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(10xy - 10xy) - xy^2 + x^2y = (10-10)xy - xy^2 + x^2y = 0 \cdot xy - xy^2 + x^2y = -xy^2 + x^2y$.

Для стандартного вида многочлена запишем его, начиная со слагаемого с большей степенью $x$: $x^2y - xy^2$.

Ответ: $x^2y - xy^2$.

г) В выражении $5xz^2 - 4x^2z + xz - 5xz^2$ подобными являются слагаемые $5xz^2$ и $-5xz^2$.

Слагаемые $-4x^2z$ и $xz$ не являются подобными друг другу.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5xz^2 - 5xz^2) - 4x^2z + xz = (5-5)xz^2 - 4x^2z + xz = 0 \cdot xz^2 - 4x^2z + xz = -4x^2z + xz$.

Запишем в другом порядке для удобства: $xz - 4x^2z$.

Ответ: $xz - 4x^2z$.

6.56 Дан многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$. Подставьте вместо $a$ заданное выражение и приведите многочлен к стандартному виду:

а) $2x$;

б) $-x$;

в) $3x^2$;

г) $-2x^3$.

Для решения задачи необходимо подставить заданные выражения вместо переменной $a$ в многочлен $2a^4 - 3a^3 - a^2 + 5a - 1$ и привести полученное выражение к стандартному виду, то есть упростить его и расположить члены в порядке убывания степеней.

а) Подставим $a = 2x$:

$2(2x)^4 - 3(2x)^3 - (2x)^2 + 5(2x) - 1 =$

$= 2 \cdot (2^4 x^4) - 3 \cdot (2^3 x^3) - 2^2 x^2 + 5 \cdot 2x - 1 =$

$= 2 \cdot 16x^4 - 3 \cdot 8x^3 - 4x^2 + 10x - 1 =$

$= 32x^4 - 24x^3 - 4x^2 + 10x - 1$

Ответ: $32x^4 - 24x^3 - 4x^2 + 10x - 1$

б) Подставим $a = -x$:

$2(-x)^4 - 3(-x)^3 - (-x)^2 + 5(-x) - 1 =$

$= 2 \cdot (x^4) - 3 \cdot (-x^3) - (x^2) - 5x - 1 =$

$= 2x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x - 1$

Ответ: $2x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x - 1$

в) Подставим $a = 3x^2$:

$2(3x^2)^4 - 3(3x^2)^3 - (3x^2)^2 + 5(3x^2) - 1 =$

$= 2 \cdot (3^4 (x^2)^4) - 3 \cdot (3^3 (x^2)^3) - (3^2 (x^2)^2) + 5 \cdot 3x^2 - 1 =$

$= 2 \cdot (81x^8) - 3 \cdot (27x^6) - 9x^4 + 15x^2 - 1 =$

$= 162x^8 - 81x^6 - 9x^4 + 15x^2 - 1$

Ответ: $162x^8 - 81x^6 - 9x^4 + 15x^2 - 1$

г) Подставим $a = -2x^3$:

$2(-2x^3)^4 - 3(-2x^3)^3 - (-2x^3)^2 + 5(-2x^3) - 1 =$

$= 2 \cdot ((-2)^4 (x^3)^4) - 3 \cdot ((-2)^3 (x^3)^3) - ((-2)^2 (x^3)^2) + 5(-2x^3) - 1 =$

$= 2 \cdot (16x^{12}) - 3 \cdot (-8x^9) - (4x^6) - 10x^3 - 1 =$

$= 32x^{12} + 24x^9 - 4x^6 - 10x^3 - 1$

Ответ: $32x^{12} + 24x^9 - 4x^6 - 10x^3 - 1$

6.57 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$

Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для:

а) n = 10;

б) n = 50.

Для вычисления суммы квадратов натуральных чисел от 1 до $n$ воспользуемся представленной в задаче формулой:

$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$

Для удобства вычислений можно привести правую часть формулы к общему знаменателю и вынести $n$ за скобки. Эта формула также известна как формула Фаулхабера для суммы квадратов:

$\frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3 = \frac{n + 3n^2 + 2n^3}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Мы будем использовать исходную формулу для расчетов.

а) Вычислим сумму квадратов натуральных чисел для $n = 10$.

Подставляем $n = 10$ в формулу:

$S_{10} = \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 + \frac{1}{3} \cdot 10^3$

Выполняем вычисления по шагам:

$S_{10} = \frac{10}{6} + \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{3} \cdot 1000$

$S_{10} = \frac{10}{6} + 50 + \frac{1000}{3}$

Приводим все слагаемые к общему знаменателю 6:

$S_{10} = \frac{10}{6} + \frac{50 \cdot 6}{6} + \frac{1000 \cdot 2}{6}$

$S_{10} = \frac{10}{6} + \frac{300}{6} + \frac{2000}{6}$

Складываем числители:

$S_{10} = \frac{10 + 300 + 2000}{6} = \frac{2310}{6}$

Выполняем деление:

$S_{10} = 385$

Ответ: 385.

б) Вычислим сумму квадратов натуральных чисел для $n = 50$.

Подставляем $n = 50$ в формулу:

$S_{50} = \frac{1}{6} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 50^2 + \frac{1}{3} \cdot 50^3$

Выполняем вычисления по шагам:

$S_{50} = \frac{50}{6} + \frac{1}{2} \cdot 2500 + \frac{1}{3} \cdot 125000$

$S_{50} = \frac{50}{6} + 1250 + \frac{125000}{3}$

Приводим все слагаемые к общему знаменателю 6:

$S_{50} = \frac{50}{6} + \frac{1250 \cdot 6}{6} + \frac{125000 \cdot 2}{6}$

$S_{50} = \frac{50}{6} + \frac{7500}{6} + \frac{250000}{6}$

Складываем числители:

$S_{50} = \frac{50 + 7500 + 250000}{6} = \frac{257550}{6}$

Выполняем деление:

$S_{50} = 42925$

Ответ: 42925.

6.58 Сумму кубов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^4$.

Вычислите сумму кубов натуральных чисел для:

a) $n = 10$;

б) $n = 50$.

Для вычисления суммы кубов натуральных чисел от 1 до n воспользуемся данной в условии формулой:

$S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{1}{4}n^2 + \frac{1}{2}n^3 + \frac{1}{4}n^4$

а) n = 10;

Подставляем значение $n = 10$ в формулу:

$S_{10} = \frac{1}{4}(10)^2 + \frac{1}{2}(10)^3 + \frac{1}{4}(10)^4$

Сначала вычислим степени числа 10:

$10^2 = 100$

$10^3 = 1000$

$10^4 = 10000$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$S_{10} = \frac{1}{4} \cdot 100 + \frac{1}{2} \cdot 1000 + \frac{1}{4} \cdot 10000$

Выполним операции умножения:

$S_{10} = 25 + 500 + 2500$

И, наконец, сложим полученные числа:

$S_{10} = 3025$

Ответ: 3025

б) n = 50.

Подставляем значение $n = 50$ в формулу:

$S_{50} = \frac{1}{4}(50)^2 + \frac{1}{2}(50)^3 + \frac{1}{4}(50)^4$

Сначала вычислим степени числа 50:

$50^2 = 2500$

$50^3 = 50^2 \cdot 50 = 2500 \cdot 50 = 125000$

$50^4 = 50^2 \cdot 50^2 = 2500 \cdot 2500 = 6250000$

Теперь подставим эти значения в формулу:

$S_{50} = \frac{1}{4} \cdot 2500 + \frac{1}{2} \cdot 125000 + \frac{1}{4} \cdot 6250000$

Выполним операции умножения (деления):

$S_{50} = 625 + 62500 + 1562500$

И, наконец, сложим полученные числа:

$625 + 62500 = 63125$

$63125 + 1562500 = 1625625$

$S_{50} = 1625625$

Ответ: 1625625

6.59 Упростите:

а) $5xy^2 - 3x^2y - xy + 5x^2y - 6xy^2 + xy;$

б) $8a^3 - 6a^2b + b^2 - 8a^3 + 3a^2b - 3b^2;$

в) $3x^4y + 2x^4 - xy^4 + 2x^4 + 2x^4y - 4x^4;$

г) $6a^3b^2 - a^2b^3 - 7a^3b^2 - a^2b^3 + 5a^3 - a^3b^2.$

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо найти и сгруппировать подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Исходное выражение: $5xy^2 - 3x^2y - xy + 5x^2y - 6xy^2 + xy$.

Сгруппируем подобные члены:

1. Слагаемые с $xy^2$: $(5xy^2 - 6xy^2)$

2. Слагаемые с $x^2y$: $(-3x^2y + 5x^2y)$

3. Слагаемые с $xy$: $(-xy + xy)$

Теперь выполним действия в каждой группе:

$(5-6)xy^2 + (-3+5)x^2y + (-1+1)xy = -1 \cdot xy^2 + 2 \cdot x^2y + 0 \cdot xy = -xy^2 + 2x^2y$.

Для стандартного вида многочлена расположим члены по убыванию степени переменной $x$: $2x^2y - xy^2$.

Ответ: $2x^2y - xy^2$.

б) Упростим выражение $8a^3 - 6a^2b + b^2 - 8a^3 + 3a^2b - 3b^2$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

1. Слагаемые с $a^3$: $(8a^3 - 8a^3)$

2. Слагаемые с $a^2b$: $(-6a^2b + 3a^2b)$

3. Слагаемые с $b^2$: $(b^2 - 3b^2)$

Приведем подобные, выполнив действия с их коэффициентами:

$(8-8)a^3 + (-6+3)a^2b + (1-3)b^2 = 0 \cdot a^3 - 3a^2b - 2b^2 = -3a^2b - 2b^2$.

Ответ: $-3a^2b - 2b^2$.

в) Упростим выражение $3x^4y + 2x^4 - xy^4 + 2x^4 + 2x^4y - 4x^4$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

1. Слагаемые с $x^4y$: $(3x^4y + 2x^4y)$

2. Слагаемые с $x^4$: $(2x^4 + 2x^4 - 4x^4)$

3. Слагаемое с $xy^4$: $-xy^4$ (нет подобных)

Выполним сложение и вычитание в группах:

$(3+2)x^4y + (2+2-4)x^4 - xy^4 = 5x^4y + 0 \cdot x^4 - xy^4 = 5x^4y - xy^4$.

Ответ: $5x^4y - xy^4$.

г) Упростим выражение $6a^3b^2 - a^2b^3 - 7a^3b^2 - a^2b^3 + 5a^3 - a^3b^2$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

1. Слагаемые с $a^3b^2$: $(6a^3b^2 - 7a^3b^2 - a^3b^2)$

2. Слагаемые с $a^2b^3$: $(-a^2b^3 - a^2b^3)$

3. Слагаемое с $a^3$: $5a^3$ (нет подобных)

Приведем подобные:

$(6-7-1)a^3b^2 + (-1-1)a^2b^3 + 5a^3 = -2a^3b^2 - 2a^2b^3 + 5a^3$.

Запишем результат в стандартном виде: $5a^3 - 2a^3b^2 - 2a^2b^3$.

Ответ: $5a^3 - 2a^3b^2 - 2a^2b^3$.