Номер 6.57, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.57 Сумму квадратов натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$

Вычислите сумму квадратов натуральных чисел для:

а) n = 10;

б) n = 50.

Для вычисления суммы квадратов натуральных чисел от 1 до $n$ воспользуемся представленной в задаче формулой:

$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3$

Для удобства вычислений можно привести правую часть формулы к общему знаменателю и вынести $n$ за скобки. Эта формула также известна как формула Фаулхабера для суммы квадратов:

$\frac{1}{6}n + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{3}n^3 = \frac{n + 3n^2 + 2n^3}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Мы будем использовать исходную формулу для расчетов.

а) Вычислим сумму квадратов натуральных чисел для $n = 10$.

Подставляем $n = 10$ в формулу:

$S_{10} = \frac{1}{6} \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 + \frac{1}{3} \cdot 10^3$

Выполняем вычисления по шагам:

$S_{10} = \frac{10}{6} + \frac{1}{2} \cdot 100 + \frac{1}{3} \cdot 1000$

$S_{10} = \frac{10}{6} + 50 + \frac{1000}{3}$

Приводим все слагаемые к общему знаменателю 6:

$S_{10} = \frac{10}{6} + \frac{50 \cdot 6}{6} + \frac{1000 \cdot 2}{6}$

$S_{10} = \frac{10}{6} + \frac{300}{6} + \frac{2000}{6}$

Складываем числители:

$S_{10} = \frac{10 + 300 + 2000}{6} = \frac{2310}{6}$

Выполняем деление:

$S_{10} = 385$

Ответ: 385.

б) Вычислим сумму квадратов натуральных чисел для $n = 50$.

Подставляем $n = 50$ в формулу:

$S_{50} = \frac{1}{6} \cdot 50 + \frac{1}{2} \cdot 50^2 + \frac{1}{3} \cdot 50^3$

Выполняем вычисления по шагам:

$S_{50} = \frac{50}{6} + \frac{1}{2} \cdot 2500 + \frac{1}{3} \cdot 125000$

$S_{50} = \frac{50}{6} + 1250 + \frac{125000}{3}$

Приводим все слагаемые к общему знаменателю 6:

$S_{50} = \frac{50}{6} + \frac{1250 \cdot 6}{6} + \frac{125000 \cdot 2}{6}$

$S_{50} = \frac{50}{6} + \frac{7500}{6} + \frac{250000}{6}$

Складываем числители:

$S_{50} = \frac{50 + 7500 + 250000}{6} = \frac{257550}{6}$

Выполняем деление:

$S_{50} = 42925$

Ответ: 42925.