Номер 6.62, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.62 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Маша решила накапливать на банковском счёте небольшие денежные суммы, которые она получала в подарок от родственников на Новый год. Она нашла банк, который начислял 10% годовых (т. е. увеличивал на 10% в год сумму, имеющуюся на счёте). В первый год она внесла 300 р., во второй — 500 р., в третий — 200 р., в четвёртый — 700 р. Как посчитать, сколько денег было на её счёте после внесения четвёртого взноса?

Будем рассуждать так. Через год после внесения суммы и далее каждый год банк увеличивал её на 10%, т. е. в 1,1 раза, плюс добавлялась новая сумма. Результат показан в таблице.

Год | Сумма на счёте (в рублях) | Итого (в рублях)

1-й | 300 | 300

2-й | $300 \cdot 1,1 + 500$ | 830

3-й | $300 \cdot (1,1)^2 + 500 \cdot 1,1 + 200$ | 1113

4-й | $300 \cdot (1,1)^3 + 500 \cdot (1,1)^2 + 200 \cdot 1,1 + 700$ | 1924,3

Рост взноса 1-го года | Рост взноса 2-го года | Рост взноса 3-го года | Взнос 4-го года

Обозначив 1,1 (коэффициент роста) буквой $x$, мы можем записать общую сумму на счёте с помощью многочлена $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$. Если, например, коэффициент роста будет другим, то достаточно подставить в это выражение вместо $x$ его значение и выполнить вычисления.

1) Вычислите, какой была бы сумма на счёте Маши, если бы банк начислял 12% годовых.

2) Представьте, что вы открыли счёт с коэффициентом роста $x$ и один раз в год вносите на этот счёт 1000 р. Составьте выражение для вычисления суммы, которая будет на вашем счёте сразу после третьего взноса. Определите эту сумму, если ежегодное начисление составляет 6%.

1) Для решения этой задачи воспользуемся общей формулой, представленной в условии: $S = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$, где $x$ — это коэффициент роста.

Коэффициент роста вычисляется как $1 + \frac{\text{процентная ставка}}{100}$.

Если банк начисляет 12% годовых, то коэффициент роста $x$ будет равен:

$x = 1 + \frac{12}{100} = 1.12$

Теперь подставим это значение в общую формулу для вычисления итоговой суммы на счёте Маши после четвёртого взноса:

$S = 300 \cdot (1.12)^3 + 500 \cdot (1.12)^2 + 200 \cdot 1.12 + 700$

Выполним вычисления:

$(1.12)^2 = 1.2544$

$(1.12)^3 = 1.2544 \cdot 1.12 = 1.404928$

$S = 300 \cdot 1.404928 + 500 \cdot 1.2544 + 200 \cdot 1.12 + 700$

$S = 421.4784 + 627.2 + 224 + 700$

$S = 1972.6784$

Таким образом, если бы банк начислял 12% годовых, на счёте Маши было бы 1972,6784 рубля.

Ответ: 1972,6784 рубля.

2) Сначала составим выражение для вычисления суммы на счёте сразу после третьего взноса. Пусть ежегодный взнос равен 1000 р., а коэффициент роста — $x$.

• В конце 1-го года вы вносите 1000 р. Сумма на счёте: $1000$.
• За 2-й год на эту сумму начисляются проценты, и она становится равной $1000 \cdot x$. Вы вносите ещё 1000 р. Сумма на счёте: $1000x + 1000$.
• За 3-й год на всю имеющуюся сумму снова начисляются проценты: $(1000x + 1000) \cdot x = 1000x^2 + 1000x$. Вы вносите третий взнос 1000 р. Итоговая сумма на счёте после третьего взноса: $1000x^2 + 1000x + 1000$.

Итак, выражение для вычисления суммы: $S_3 = 1000x^2 + 1000x + 1000$.

Теперь определим эту сумму, если ежегодное начисление составляет 6%.

Коэффициент роста $x$ при ставке 6% годовых равен:

$x = 1 + \frac{6}{100} = 1.06$

Подставим значение $x = 1.06$ в полученное выражение:

$S_3 = 1000 \cdot (1.06)^2 + 1000 \cdot 1.06 + 1000$

$S_3 = 1000 \cdot 1.1236 + 1060 + 1000$

$S_3 = 1123.6 + 1060 + 1000$

$S_3 = 3183.6$

Ответ: выражение для вычисления суммы $S_3 = 1000x^2 + 1000x + 1000$; при ставке 6% годовых эта сумма составит 3183,6 рубля.