Номер 1, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 6.4. Сложение и вычитание многочленов. Глава 6. Многочлены - номер 1, страница 159.

Условие.

Разберите примеры 1 и 2. Для каждого из них:

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Поскольку в задании не приведены конкретные примеры 1 и 2, разберем два типичных случая, иллюстрирующих правила раскрытия скобок и последующего упрощения выражений.

---

Пример 1. Упростить выражение: $8(x - 3) - (5 - 2x)$

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

В этом примере используются два основных правила раскрытия скобок:

1. Для выражения $8(x - 3)$ применяется распределительное свойство умножения (или дистрибутивный закон). Чтобы умножить число (или одночлен) на многочлен в скобках, нужно это число умножить на каждый член многочлена, а полученные произведения сложить. В данном случае, умножаем 8 на $x$ и 8 на $-3$: $8 \cdot x + 8 \cdot (-3)$.
2. Для выражения $-(5 - 2x)$ применяется правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус». Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок этот знак опускается, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Так, $+5$ станет $-5$, а $-2x$ станет $+2x$.

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Упрощение выполняется в несколько шагов:

1. Раскрытие скобок. Применяем правила, сформулированные в пункте а):
   $8(x - 3) - (5 - 2x) = 8 \cdot x - 8 \cdot 3 - 5 + 2x = 8x - 24 - 5 + 2x$.
2. Приведение подобных слагаемых. После раскрытия скобок мы группируем и складываем слагаемые с одинаковой буквенной частью (подобные слагаемые) и числовые слагаемые (константы).
   • Группа с переменной $x$: $8x$ и $2x$. Складываем их коэффициенты: $8x + 2x = (8+2)x = 10x$.
   • Группа числовых слагаемых: $-24$ и $-5$. Складываем их: $-24 - 5 = -29$.
3. Запись конечного результата. Записываем полученные слагаемые вместе.

Таким образом, выражение $8x - 24 - 5 + 2x$ упрощается до $10x - 29$.
Ответ: $10x - 29$

---

Пример 2. Упростить выражение: $(y+4)(y-2) - y(y+5)$

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

Здесь используются следующие правила:

1. Для выражения $(y+4)(y-2)$ применяется правило умножения многочлена на многочлен. Чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. $ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $.
2. Для выражения $-y(y+5)$ применяется распределительное свойство умножения, а также учитывается знак "минус" перед произведением. Мы умножаем $-y$ на каждый член в скобках: $-y \cdot y$ и $-y \cdot 5$.

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Процесс упрощения состоит из следующих этапов:

1. Раскрытие скобок.
   • Умножаем многочлен на многочлен: $(y+4)(y-2) = y \cdot y + y \cdot (-2) + 4 \cdot y + 4 \cdot (-2) = y^2 - 2y + 4y - 8$.
   • Применяем распределительный закон для второй части: $-y(y+5) = -y \cdot y - y \cdot 5 = -y^2 - 5y$.
2. Объединение результатов. Записываем все полученные слагаемые в одно выражение:
   $y^2 - 2y + 4y - 8 - y^2 - 5y$.
3. Приведение подобных слагаемых. Группируем и вычисляем суммы слагаемых с одинаковой степенью переменной $y$.
   • Группа с $y^2$: $y^2 - y^2 = (1-1)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$. Эти слагаемые взаимно уничтожаются.
   • Группа с $y$: $-2y + 4y - 5y = (-2+4-5)y = (2-5)y = -3y$.
   • Числовое слагаемое: $-8$. Оно остается без изменений.
4. Запись конечного результата. Собираем оставшиеся члены.

В результате выражение $y^2 - 2y + 4y - 8 - y^2 - 5y$ упрощается до $-3y - 8$.
Ответ: $-3y - 8$