Страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Разберите примеры 1 и 2. Для каждого из них:

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Поскольку в задании не приведены конкретные примеры 1 и 2, разберем два типичных случая, иллюстрирующих правила раскрытия скобок и последующего упрощения выражений.

Пример 1. Упростить выражение: $8(x - 3) - (5 - 2x)$

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

В этом примере используются два основных правила раскрытия скобок:

1. Для выражения $8(x - 3)$ применяется распределительное свойство умножения (или дистрибутивный закон). Чтобы умножить число (или одночлен) на многочлен в скобках, нужно это число умножить на каждый член многочлена, а полученные произведения сложить. В данном случае, умножаем 8 на $x$ и 8 на $-3$: $8 \cdot x + 8 \cdot (-3)$.
2. Для выражения $-(5 - 2x)$ применяется правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус». Если перед скобками стоит знак «-», то при раскрытии скобок этот знак опускается, а знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Так, $+5$ станет $-5$, а $-2x$ станет $+2x$.

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Упрощение выполняется в несколько шагов:

1. Раскрытие скобок. Применяем правила, сформулированные в пункте а):
   $8(x - 3) - (5 - 2x) = 8 \cdot x - 8 \cdot 3 - 5 + 2x = 8x - 24 - 5 + 2x$.
2. Приведение подобных слагаемых. После раскрытия скобок мы группируем и складываем слагаемые с одинаковой буквенной частью (подобные слагаемые) и числовые слагаемые (константы).
   • Группа с переменной $x$: $8x$ и $2x$. Складываем их коэффициенты: $8x + 2x = (8+2)x = 10x$.
   • Группа числовых слагаемых: $-24$ и $-5$. Складываем их: $-24 - 5 = -29$.
3. Запись конечного результата. Записываем полученные слагаемые вместе.

Таким образом, выражение $8x - 24 - 5 + 2x$ упрощается до $10x - 29$.
Ответ: $10x - 29$

Пример 2. Упростить выражение: $(y+4)(y-2) - y(y+5)$

а) сформулируйте правило раскрытия скобок, которое использовалось в примере;

Здесь используются следующие правила:

1. Для выражения $(y+4)(y-2)$ применяется правило умножения многочлена на многочлен. Чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. $ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $.
2. Для выражения $-y(y+5)$ применяется распределительное свойство умножения, а также учитывается знак "минус" перед произведением. Мы умножаем $-y$ на каждый член в скобках: $-y \cdot y$ и $-y \cdot 5$.

б) объясните, как выполнено упрощение выражения, получившегося после раскрытия скобок.

Процесс упрощения состоит из следующих этапов:

1. Раскрытие скобок.
   • Умножаем многочлен на многочлен: $(y+4)(y-2) = y \cdot y + y \cdot (-2) + 4 \cdot y + 4 \cdot (-2) = y^2 - 2y + 4y - 8$.
   • Применяем распределительный закон для второй части: $-y(y+5) = -y \cdot y - y \cdot 5 = -y^2 - 5y$.
2. Объединение результатов. Записываем все полученные слагаемые в одно выражение:
   $y^2 - 2y + 4y - 8 - y^2 - 5y$.
3. Приведение подобных слагаемых. Группируем и вычисляем суммы слагаемых с одинаковой степенью переменной $y$.
   • Группа с $y^2$: $y^2 - y^2 = (1-1)y^2 = 0 \cdot y^2 = 0$. Эти слагаемые взаимно уничтожаются.
   • Группа с $y$: $-2y + 4y - 5y = (-2+4-5)y = (2-5)y = -3y$.
   • Числовое слагаемое: $-8$. Оно остается без изменений.
4. Запись конечного результата. Собираем оставшиеся члены.

В результате выражение $y^2 - 2y + 4y - 8 - y^2 - 5y$ упрощается до $-3y - 8$.
Ответ: $-3y - 8$

Запишите многочлен, противоположный многочлену $-3x^2 + 7$. Чему равна сумма данного многочлена и противоположного ему?

Запишите многочлен, противоположный многочлену $-3x^2 + 7$.

Чтобы найти многочлен, противоположный данному, необходимо изменить знак каждого его члена на противоположный. Данный многочлен состоит из двух членов: $-3x^2$ и $+7$.

1. Противоположным для члена $-3x^2$ является член $3x^2$.

2. Противоположным для члена $+7$ является член $-7$.

Таким образом, многочлен, противоположный многочлену $-3x^2 + 7$, будет выглядеть как $3x^2 - 7$. Это можно также записать как взятие исходного многочлена со знаком минус: $-(-3x^2 + 7) = 3x^2 - 7$.

Ответ: $3x^2 - 7$

Чему равна сумма данного многочлена и противоположного ему?

Чтобы найти сумму данного многочлена и противоположного ему, нужно сложить оба выражения: исходный многочлен $(-3x^2 + 7)$ и найденный противоположный многочлен $(3x^2 - 7)$.

Запишем сумму:

$(-3x^2 + 7) + (3x^2 - 7)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$-3x^2 + 7 + 3x^2 - 7 = (-3x^2 + 3x^2) + (7 - 7)$

Выполним сложение подобных членов:

$0 \cdot x^2 + 0 = 0$

Сумма любого многочлена и противоположного ему всегда равна нулю.

Ответ: $0$

Разберите пример 3 и выполните по этому образцу сложение многочленов $x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и $4x^2 - x + 5$ и вычитание второго многочлена из первого.

Даны два многочлена: первый $x^3 - 3x^2 - 2x + 5$ и второй $4x^2 - x + 5$.

сложение многочленов

Чтобы сложить два многочлена, необходимо сгруппировать и сложить их подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью).

1. Запишем сумму многочленов, взяв каждый в скобки:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) + (4x^2 - x + 5)$

2. Раскроем скобки. Поскольку перед скобками стоит знак «плюс», знаки членов многочлена не меняются:

$x^3 - 3x^2 - 2x + 5 + 4x^2 - x + 5$

3. Сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 + 4x^2) + (-2x - x) + (5 + 5)$

4. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$x^3 + (1)x^2 + (-3)x + 10$

Получаем итоговый многочлен:

$x^3 + x^2 - 3x + 10$

Ответ: $x^3 + x^2 - 3x + 10$

вычитание второго многочлена из первого

Чтобы вычесть один многочлен из другого, необходимо к первому многочлену прибавить многочлен, противоположный второму (то есть изменить знаки всех его членов на противоположные).

1. Запишем разность многочленов, взяв каждый в скобки:

$(x^3 - 3x^2 - 2x + 5) - (4x^2 - x + 5)$

2. Раскроем скобки. Поскольку перед вторыми скобками стоит знак «минус», знаки всех членов в них меняются на противоположные:

$x^3 - 3x^2 - 2x + 5 - 4x^2 + x - 5$

3. Сгруппируем подобные члены:

$x^3 + (-3x^2 - 4x^2) + (-2x + x) + (5 - 5)$

4. Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$x^3 + (-7)x^2 + (-1)x + 0$

Получаем итоговый многочлен:

$x^3 - 7x^2 - x$

Ответ: $x^3 - 7x^2 - x$

6.63 Выполните сложение:

a) $(3a^2 - 2a) + (-a^2 + 3a);$

б) $(6c^2 - 2cd) + (10c^2 + 18cd);$

в) $(14mn - 15m) + (-15mn - 14m);$

г) $(3a^2 - 7b^2) + (6b^2 - 2a^2).$

Для сложения многочленов $(3a^2 - 2a)$ и $(-a^2 + 3a)$ необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть. Когда мы раскрываем скобки, перед которыми стоит знак «+», знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$(3a^2 - 2a) + (-a^2 + 3a) = 3a^2 - 2a - a^2 + 3a$

Теперь сгруппируем подобные члены: слагаемые с $a^2$ и слагаемые с $a$.

$(3a^2 - a^2) + (-2a + 3a)$

Выполним действия с коэффициентами подобных слагаемых:

$3a^2 - a^2 = (3-1)a^2 = 2a^2$

$-2a + 3a = (-2+3)a = 1 \cdot a = a$

В результате сложения получаем:

$2a^2 + a$

Ответ: $2a^2 + a$

Сложим многочлены $(6c^2 - 2cd)$ и $(10c^2 + 18cd)$. Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в ней сохраняются.

$(6c^2 - 2cd) + (10c^2 + 18cd) = 6c^2 - 2cd + 10c^2 + 18cd$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $c^2$ и члены с $cd$).

$(6c^2 + 10c^2) + (-2cd + 18cd) = (6+10)c^2 + (-2+18)cd = 16c^2 + 16cd$

Ответ: $16c^2 + 16cd$

Выполним сложение $(14mn - 15m) + (-15mn - 14m)$. Раскроем скобки, сохраняя знаки слагаемых.

$(14mn - 15m) + (-15mn - 14m) = 14mn - 15m - 15mn - 14m$

Сгруппируем подобные члены: слагаемые с буквенной частью $mn$ и слагаемые с буквенной частью $m$.

$(14mn - 15mn) + (-15m - 14m)$

Приведем подобные слагаемые, выполнив действия с их коэффициентами.

$(14 - 15)mn + (-15 - 14)m = -1mn - 29m = -mn - 29m$

Ответ: $-mn - 29m$

Сложим многочлены $(3a^2 - 7b^2)$ и $(6b^2 - 2a^2)$. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(3a^2 - 7b^2) + (6b^2 - 2a^2) = 3a^2 - 7b^2 + 6b^2 - 2a^2$

Сгруппируем подобные члены: слагаемые с $a^2$ и слагаемые с $b^2$.

$(3a^2 - 2a^2) + (-7b^2 + 6b^2)$

Выполним действия с коэффициентами.

$(3-2)a^2 + (-7+6)b^2 = 1a^2 - 1b^2 = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

6.64 Раскройте скобки и приведите подобные:

а) $(5x^3 - 3x^2 - 7) + (4 + 3x^2 - 5x^3);$

б) $(z^2 - 3z + 2) + (4z + 8) + (3z^2 - 5);$

в) $(3t^3 - 4t^2 + 7t) + (2t^2 - 6t + 7);$

г) $(2a^2 + 5a) + (-a^2 + a) + (a^2 - 3a - 5).$

а) $(5x^3 - 3x^2 - 7) + (4 + 3x^2 - 5x^3)$

Чтобы раскрыть скобки, мы должны обратить внимание на знак перед ними. В данном случае перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому мы просто убираем скобки, сохраняя знаки всех слагаемых:

$5x^3 - 3x^2 - 7 + 4 + 3x^2 - 5x^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Это слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть. Сгруппируем их:

$(5x^3 - 5x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (-7 + 4)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$5x^3 - 5x^3 = 0$

$-3x^2 + 3x^2 = 0$

$-7 + 4 = -3$

Сложим полученные результаты: $0 + 0 - 3 = -3$.

Ответ: $-3$

б) $(z^2 - 3z + 2) + (4z + 8) + (3z^2 - 5)$

Все скобки соединены знаками «+», поэтому раскрываем их, сохраняя знаки слагаемых:

$z^2 - 3z + 2 + 4z + 8 + 3z^2 - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(z^2 + 3z^2) + (-3z + 4z) + (2 + 8 - 5)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$z^2 + 3z^2 = 4z^2$

$-3z + 4z = z$

$2 + 8 - 5 = 5$

Собираем итоговое выражение.

Ответ: $4z^2 + z + 5$

в) $(3t^3 - 4t^2 + 7t) + (2t^2 - 6t + 7)$

Раскрываем скобки. Знак «+» перед второй скобкой означает, что знаки слагаемых не меняются:

$3t^3 - 4t^2 + 7t + 2t^2 - 6t + 7$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$3t^3 + (-4t^2 + 2t^2) + (7t - 6t) + 7$

Выполним вычисления в группах:

$3t^3$ (нет подобных)

$-4t^2 + 2t^2 = -2t^2$

$7t - 6t = t$

$7$ (нет подобных)

Собираем итоговое выражение.

Ответ: $3t^3 - 2t^2 + t + 7$

г) $(2a^2 + 5a) + (-a^2 + a) + (a^2 - 3a - 5)$

Раскрываем все скобки, сохраняя знаки слагаемых, так как все скобки соединены знаками «+»:

$2a^2 + 5a - a^2 + a + a^2 - 3a - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 - a^2 + a^2) + (5a + a - 3a) - 5$

Выполним вычисления в группах:

$2a^2 - a^2 + a^2 = 2a^2$

$5a + a - 3a = 3a$

$-5$ (нет подобных)

Собираем итоговое выражение.

Ответ: $2a^2 + 3a - 5$

6.65 Упростите выражение:

а) $(7x + y) - (-x - 2y);$

б) $(b - 3) - (2b + 2);$

в) $(x^2 - 3x) - (2x + 1);$

г) $(5b^2 + 2b) - (4b^2 - 3b).$

а) Чтобы упростить выражение $(7x + y) - (-x - 2y)$, необходимо раскрыть скобки. Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус», заключается в том, что знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные. Первые скобки можно просто опустить.

$(7x + y) - (-x - 2y) = 7x + y + x + 2y$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

$(7x + x) + (y + 2y) = 8x + 3y$

Ответ: $8x + 3y$

б) Упростим выражение $(b - 3) - (2b + 2)$. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные, так как перед ней стоит знак «минус».

$(b - 3) - (2b + 2) = b - 3 - 2b - 2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $b$ и свободные члены (числа).

$(b - 2b) + (-3 - 2) = -b - 5$

Ответ: $-b - 5$

в) Рассмотрим выражение $(x^2 - 3x) - (2x + 1)$. Раскроем скобки. Знак «минус» перед второй скобкой меняет знаки слагаемых $2x$ и $1$ на противоположные.

$(x^2 - 3x) - (2x + 1) = x^2 - 3x - 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые (в данном случае это $-3x$ и $-2x$).

$x^2 + (-3x - 2x) - 1 = x^2 - 5x - 1$

Ответ: $x^2 - 5x - 1$

г) Упростим выражение $(5b^2 + 2b) - (4b^2 - 3b)$. Сначала раскроем скобки, помня, что знак «минус» перед второй скобкой меняет знаки $4b^2$ и $-3b$.

$(5b^2 + 2b) - (4b^2 - 3b) = 5b^2 + 2b - 4b^2 + 3b$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые: члены с $b^2$ и члены с $b$.

$(5b^2 - 4b^2) + (2b + 3b) = b^2 + 5b$

Ответ: $b^2 + 5b$

6.66 Раскройте скобки:

а) $(10a - 2b + 5c) - (-5a + 20b - c);$

б) $(16m - 11n - 7mn) - (6mn - 10n + 16m);$

в) $(c^2 + 3cd - d^2) - (4cd + 5d^2 - 6c^2);$

г) $(3b^3 - 2ab + a^3) - (2ab + 3b^3).$

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(10a - 2b + 5c) - (-5a + 20b - c)$, нужно изменить знаки всех слагаемых во вторых скобках на противоположные, так как перед ними стоит знак минус. Первые скобки опускаем без изменения знаков.

$(10a - 2b + 5c) - (-5a + 20b - c) = 10a - 2b + 5c + 5a - 20b + c$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными:

$(10a + 5a) + (-2b - 20b) + (5c + c)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$15a - 22b + 6c$

Ответ: $15a - 22b + 6c$

б) Раскроем скобки в выражении $(16m - 11n - 7mn) - (6mn - 10n + 16m)$. Так как перед вторыми скобками стоит знак минус, меняем знаки всех слагаемых внутри них на противоположные.

$(16m - 11n - 7mn) - (6mn - 10n + 16m) = 16m - 11n - 7mn - 6mn + 10n - 16m$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16m - 16m) + (-11n + 10n) + (-7mn - 6mn)$

Выполним вычисления:

$0 - n - 13mn = -n - 13mn$

Ответ: $-n - 13mn$

в) Раскроем скобки в выражении $(c^2 + 3cd - d^2) - (4cd + 5d^2 - 6c^2)$. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому меняем знаки слагаемых в них.

$(c^2 + 3cd - d^2) - (4cd + 5d^2 - 6c^2) = c^2 + 3cd - d^2 - 4cd - 5d^2 + 6c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + 6c^2) + (3cd - 4cd) + (-d^2 - 5d^2)$

Выполним вычисления:

$7c^2 - cd - 6d^2$

Ответ: $7c^2 - cd - 6d^2$

г) Раскроем скобки в выражении $(3b^3 - 2ab + a^3) - (2ab + 3b^3)$. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому меняем знаки слагаемых в них.

$(3b^3 - 2ab + a^3) - (2ab + 3b^3) = 3b^3 - 2ab + a^3 - 2ab - 3b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3b^3 - 3b^3) + (-2ab - 2ab) + a^3$

Выполним вычисления:

$0 - 4ab + a^3 = a^3 - 4ab$

Ответ: $a^3 - 4ab$

6.67 Составьте сумму и разность многочленов и упростите получившиеся выражения:

а) $6a^2 - 3a + 1$ и $6a^2 - 1$;

б) $n^3 + 2n^2 - n + 1$ и $1 - n^3$;

в) $k^3 - 3k^2 + 1$ и $2k^3 - 3k^2 + 4$;

г) $3x^2 - 2x + 7$ и $2x^2 + 2x + 7$.

а) Для многочленов $6a^2 - 3a + 1$ и $6a^2 - 1$.

Сумма:
$(6a^2 - 3a + 1) + (6a^2 - 1) = 6a^2 - 3a + 1 + 6a^2 - 1 = (6a^2 + 6a^2) - 3a + (1 - 1) = 12a^2 - 3a$.

Разность:
$(6a^2 - 3a + 1) - (6a^2 - 1) = 6a^2 - 3a + 1 - 6a^2 + 1 = (6a^2 - 6a^2) - 3a + (1 + 1) = -3a + 2$.

Ответ: Сумма: $12a^2 - 3a$; разность: $-3a + 2$.

б) Для многочленов $n^3 + 2n^2 - n + 1$ и $1 - n^3$.

Сумма:
$(n^3 + 2n^2 - n + 1) + (1 - n^3) = n^3 + 2n^2 - n + 1 + 1 - n^3 = (n^3 - n^3) + 2n^2 - n + (1 + 1) = 2n^2 - n + 2$.

Разность:
$(n^3 + 2n^2 - n + 1) - (1 - n^3) = n^3 + 2n^2 - n + 1 - 1 + n^3 = (n^3 + n^3) + 2n^2 - n + (1 - 1) = 2n^3 + 2n^2 - n$.

Ответ: Сумма: $2n^2 - n + 2$; разность: $2n^3 + 2n^2 - n$.

в) Для многочленов $k^3 - 3k^2 + 1$ и $2k^3 - 3k^2 + 4$.

Сумма:
$(k^3 - 3k^2 + 1) + (2k^3 - 3k^2 + 4) = k^3 - 3k^2 + 1 + 2k^3 - 3k^2 + 4 = (k^3 + 2k^3) + (-3k^2 - 3k^2) + (1 + 4) = 3k^3 - 6k^2 + 5$.

Разность:
$(k^3 - 3k^2 + 1) - (2k^3 - 3k^2 + 4) = k^3 - 3k^2 + 1 - 2k^3 + 3k^2 - 4 = (k^3 - 2k^3) + (-3k^2 + 3k^2) + (1 - 4) = -k^3 - 3$.

Ответ: Сумма: $3k^3 - 6k^2 + 5$; разность: $-k^3 - 3$.

г) Для многочленов $3x^2 - 2x + 7$ и $2x^2 + 2x + 7$.

Сумма:
$(3x^2 - 2x + 7) + (2x^2 + 2x + 7) = 3x^2 - 2x + 7 + 2x^2 + 2x + 7 = (3x^2 + 2x^2) + (-2x + 2x) + (7 + 7) = 5x^2 + 14$.

Разность:
$(3x^2 - 2x + 7) - (2x^2 + 2x + 7) = 3x^2 - 2x + 7 - 2x^2 - 2x - 7 = (3x^2 - 2x^2) + (-2x - 2x) + (7 - 7) = x^2 - 4x$.

Ответ: Сумма: $5x^2 + 14$; разность: $x^2 - 4x$.