Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.77 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Не меняя ни одного знака, расставьте скобки так, чтобы выполнялось равенство:

а) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 2;$

б) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = -2;$

в) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 0.$

Для решения этой задачи необходимо расставить скобки в выражении $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1$ таким образом, чтобы получились заданные равенства. Смысл задания заключается в том, что скобки меняют порядок действий, что приводит к изменению итогового результата выражения. Условие "не меняя ни одного знака" означает, что можно добавлять только скобки, не изменяя исходные числа, переменные и знаки операций (+, -).

а)

Требуется получить равенство $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 2$.

Для этого сгруппируем члены выражения следующим образом:

$(x^2 - 3x + 1) - (x^2 - 3x - 1)$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение. Вычитание выражения в скобках равносильно прибавлению противоположного выражения, то есть знаки всех членов внутри вторых скобок меняются на противоположные:

$(x^2 - 3x + 1) - (x^2 - 3x - 1) = x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x + 1$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (1 + 1) = 0 + 0 + 2 = 2$

Равенство выполняется.

Ответ: $(x^2 - 3x + 1) - (x^2 - 3x - 1) = 2$

б)

Требуется получить равенство $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = -2$.

Расставим скобки следующим образом:

$x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1)$

Раскроем скобки. Знаки членов в обеих скобках меняются на противоположные, так как перед каждой из них стоит знак минус.

$x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = x^2 - 3x - 1 - x^2 + 3x - 1$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (-1 - 1) = 0 + 0 - 2 = -2$

Равенство выполняется.

Ответ: $x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = -2$

в)

Требуется получить равенство $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 0$.

Расставим скобки так:

$x^2 - (3x - 1) - (x^2 - 3x + 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри них на противоположные:

$x^2 - (3x - 1) - (x^2 - 3x + 1) = x^2 - 3x + 1 - x^2 + 3x - 1$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (1 - 1) = 0 + 0 + 0 = 0$

Равенство выполняется.

Ответ: $x^2 - (3x - 1) - (x^2 - 3x + 1) = 0$

6.78 Упростите выражения $P + Q$, $P - Q$ и $Q - P$, если:

а) $P = 2x^2 + x - 2$, $Q = 1 + 2x - 2x^2$;

б) $P = 12 - 5a - 10a^2$, $Q = 10 + 4a - 10a^2$.

а) Даны многочлены $P = 2x^2 + x - 2$ и $Q = 1 + 2x - 2x^2$. Упростим требуемые выражения.

Для выражения $P + Q$:
$P + Q = (2x^2 + x - 2) + (1 + 2x - 2x^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + x - 2 + 1 + 2x - 2x^2 = (2x^2 - 2x^2) + (x + 2x) + (-2 + 1) = 3x - 1$.
Ответ: $3x - 1$.

Для выражения $P - Q$:
$P - Q = (2x^2 + x - 2) - (1 + 2x - 2x^2)$
Раскроем скобки, меняя знаки у второго многочлена, и приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + x - 2 - 1 - 2x + 2x^2 = (2x^2 + 2x^2) + (x - 2x) + (-2 - 1) = 4x^2 - x - 3$.
Ответ: $4x^2 - x - 3$.

Для выражения $Q - P$:
$Q - P = (1 + 2x - 2x^2) - (2x^2 + x - 2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1 + 2x - 2x^2 - 2x^2 - x + 2 = (-2x^2 - 2x^2) + (2x - x) + (1 + 2) = -4x^2 + x + 3$.
Ответ: $-4x^2 + x + 3$.

б) Даны многочлены $P = 12 - 5a - 10a^2$ и $Q = 10 + 4a - 10a^2$. Упростим требуемые выражения.

Для выражения $P + Q$:
$P + Q = (12 - 5a - 10a^2) + (10 + 4a - 10a^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$12 - 5a - 10a^2 + 10 + 4a - 10a^2 = (-10a^2 - 10a^2) + (-5a + 4a) + (12 + 10) = -20a^2 - a + 22$.
Ответ: $-20a^2 - a + 22$.

Для выражения $P - Q$:
$P - Q = (12 - 5a - 10a^2) - (10 + 4a - 10a^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$12 - 5a - 10a^2 - 10 - 4a + 10a^2 = (-10a^2 + 10a^2) + (-5a - 4a) + (12 - 10) = -9a + 2$.
Ответ: $-9a + 2$.

Для выражения $Q - P$:
$Q - P = (10 + 4a - 10a^2) - (12 - 5a - 10a^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10 + 4a - 10a^2 - 12 + 5a + 10a^2 = (-10a^2 + 10a^2) + (4a + 5a) + (10 - 12) = 9a - 2$.
Ответ: $9a - 2$.

6.79 Упростите выражения $P - Q + R$ и $P - (Q + R)$, если $P = 2m^2 - m - 1$, $Q = m^2 - 2m$, $R = m - 1$.

Для решения задачи воспользуемся данными многочленами: $P = 2m^2 - m - 1$, $Q = m^2 - 2m$, $R = m - 1$.

P - Q + R

Сначала подставим данные многочлены в выражение $P - Q + R$. Важно не забыть взять многочлены в скобки, особенно те, перед которыми стоит знак минус.

$P - Q + R = (2m^2 - m - 1) - (m^2 - 2m) + (m - 1)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед многочленом $Q$ стоит знак минус, все знаки внутри его скобок меняются на противоположные.

$2m^2 - m - 1 - m^2 + 2m + m - 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени и константы).

$(2m^2 - m^2) + (-m + 2m + m) + (-1 - 1)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$m^2 + 2m - 2$

Ответ: $m^2 + 2m - 2$

P - (Q + R)

Подставим многочлены в выражение $P - (Q + R)$.

$P - (Q + R) = (2m^2 - m - 1) - ((m^2 - 2m) + (m - 1))$

Согласно порядку действий, сначала выполним операцию в скобках, то есть найдем сумму $Q + R$.

$Q + R = (m^2 - 2m) + (m - 1) = m^2 - 2m + m - 1 = m^2 - m - 1$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение.

$P - (Q + R) = (2m^2 - m - 1) - (m^2 - m - 1)$

Раскроем скобки, снова меняя знаки второго многочлена на противоположные.

$2m^2 - m - 1 - m^2 + m + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(2m^2 - m^2) + (-m + m) + (-1 + 1)$

Выполним вычисления:

$m^2 + 0 + 0 = m^2$

Ответ: $m^2$

6.80 Выпишите пары противоположных выражений и пары равных выражений:

$2x - 3y$, $2x + 3y$, $3y - 2x$, $-2x - 3y$, $-(2x - 3y)$, $-(3y - 2x)$.

Для того чтобы найти пары равных и противоположных выражений, сначала необходимо упростить те из них, которые содержат скобки. Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое внутри на $-1$.

Для выражения $-(2x - 3y)$:

$-(2x - 3y) = -1 \cdot 2x - 1 \cdot (-3y) = -2x + 3y$

Для выражения $-(3y - 2x)$:

$-(3y - 2x) = -1 \cdot 3y - 1 \cdot (-2x) = -3y + 2x = 2x - 3y$

Теперь у нас есть полный список выражений в упрощенном виде для сравнения:

• $2x - 3y$
• $2x + 3y$
• $3y - 2x$ (можно записать как $-2x + 3y$)
• $-2x - 3y$
• $-(2x - 3y)$ равно $-2x + 3y$
• $-(3y - 2x)$ равно $2x - 3y$

Равные выражения — это те, которые тождественно равны друг другу при любых значениях переменных. Сравнивая выражения из списка, находим следующие совпадения:

• Пара: $2x - 3y$ и $-(3y - 2x)$.
  Они равны, так как после упрощения второе выражение превращается в первое: $-(3y - 2x) = 2x - 3y$.
• Пара: $3y - 2x$ и $-(2x - 3y)$.
  Они равны, так как после упрощения второе выражение превращается в первое: $-(2x - 3y) = -2x + 3y$, что то же самое, что и $3y - 2x$.

Ответ: Пары равных выражений: $(2x - 3y \text{ и } -(3y - 2x))$; $(3y - 2x \text{ и } -(2x - 3y))$.

Противоположные выражения — это те, сумма которых равна нулю. Если одно выражение $A$, то противоположное ему $-A$.

• Пара: $2x - 3y$ и $3y - 2x$.
  Проверим их сумму: $(2x - 3y) + (3y - 2x) = 2x - 2x - 3y + 3y = 0$.
• Пара: $2x + 3y$ и $-2x - 3y$.
  Здесь второе выражение является результатом умножения первого на $-1$: $-(2x + 3y) = -2x - 3y$. Их сумма, очевидно, равна нулю: $(2x + 3y) + (-2x - 3y) = 0$.
• Пара: $-(2x - 3y)$ и $-(3y - 2x)$.
  Мы уже упростили эти выражения: $-(2x - 3y) = -2x + 3y$ и $-(3y - 2x) = 2x - 3y$. Легко видеть, что они противоположны. Их сумма: $(-2x + 3y) + (2x - 3y) = 0$.

Ответ: Пары противоположных выражений: $(2x - 3y \text{ и } 3y - 2x)$; $(2x + 3y \text{ и } -2x - 3y)$; $(-(2x - 3y) \text{ и } -(3y - 2x))$.

6.81 Многочлен $2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$ представьте в виде разности двух двучленов всеми возможными способами.

Чтобы представить многочлен $2a^3 - 3a^2 - 4a + 5$ в виде разности двух двучленов ($B_1 - B_2$), необходимо разбить его четыре члена на две группы по два. Первая группа образует двучлен $B_1$ (уменьшаемое), а вторая группа, взятая с противоположным знаком, образует двучлен $B_2$ (вычитаемое).

Задача сводится к выбору двух членов из четырех для формирования первого двучлена $B_1$. Число таких способов равно числу сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Следовательно, существует 6 возможных способов. Рассмотрим их все.

1. 1)

   Выберем для первого двучлена ($B_1$) члены $2a^3$ и $-3a^2$. Тогда $B_1 = 2a^3 - 3a^2$.
   Оставшиеся члены, $-4a$ и $5$, образуют второй двучлен: $B_2 = -(-4a + 5) = 4a - 5$.
   Ответ: $(2a^3 - 3a^2) - (4a - 5)$.

2. 2)

   Выберем для первого двучлена ($B_1$) члены $2a^3$ и $-4a$. Тогда $B_1 = 2a^3 - 4a$.
   Оставшиеся члены, $-3a^2$ и $5$, образуют второй двучлен: $B_2 = -(-3a^2 + 5) = 3a^2 - 5$.
   Ответ: $(2a^3 - 4a) - (3a^2 - 5)$.

3. 3)

   Выберем для первого двучлена ($B_1$) члены $2a^3$ и $5$. Тогда $B_1 = 2a^3 + 5$.
   Оставшиеся члены, $-3a^2$ и $-4a$, образуют второй двучлен: $B_2 = -(-3a^2 - 4a) = 3a^2 + 4a$.
   Ответ: $(2a^3 + 5) - (3a^2 + 4a)$.

4. 4)

   Выберем для первого двучлена ($B_1$) члены $-3a^2$ и $-4a$. Тогда $B_1 = -3a^2 - 4a$.
   Оставшиеся члены, $2a^3$ и $5$, образуют второй двучлен: $B_2 = -(2a^3 + 5) = -2a^3 - 5$.
   Ответ: $(-3a^2 - 4a) - (-2a^3 - 5)$.

5. 5)

   Выберем для первого двучлена ($B_1$) члены $-3a^2$ и $5$. Тогда $B_1 = -3a^2 + 5$.
   Оставшиеся члены, $2a^3$ и $-4a$, образуют второй двучлен: $B_2 = -(2a^3 - 4a) = -2a^3 + 4a$.
   Ответ: $(-3a^2 + 5) - (-2a^3 + 4a)$.

6. 6)

   Выберем для первого двучлена ($B_1$) члены $-4a$ и $5$. Тогда $B_1 = -4a + 5$.
   Оставшиеся члены, $2a^3$ и $-3a^2$, образуют второй двучлен: $B_2 = -(2a^3 - 3a^2) = -2a^3 + 3a^2$.
   Ответ: $(-4a + 5) - (-2a^3 + 3a^2)$.

6.82 Представьте в виде суммы и разности двух каких-либо двучленов трёхчлен:

а) $x^2 + 3x - 1$;

б) $a^2 - 5a + 2$;

в) $m^2 + m - 4$;

г) $y^2 - y + 10$.

Для каждого трехчлена необходимо найти два двучлена, которые в сумме и в разности дают исходный трехчлен. Так как существует множество вариантов, для каждого пункта будет приведено по одному возможному решению.

а) $x^2 + 3x - 1$

Представление в виде суммы: Чтобы представить трехчлен в виде суммы двух двучленов, можно разбить один из его членов на два слагаемых. Например, разобьем $3x$ на $x$ и $2x$ и сгруппируем:

$x^2 + 3x - 1 = x^2 + x + 2x - 1 = (x^2 + x) + (2x - 1)$

Представление в виде разности: Аналогично, разобьем член $3x$ на $4x$ и $-x$ и сгруппируем, вынося знак минус за скобки:

$x^2 + 3x - 1 = x^2 + 4x - x - 1 = (x^2 + 4x) - (x + 1)$

Ответ: в виде суммы: $(x^2 + x) + (2x - 1)$; в виде разности: $(x^2 + 4x) - (x + 1)$.

б) $a^2 - 5a + 2$

Представление в виде суммы: Разобьем свободный член $2$ на $1$ и $1$ и сгруппируем:

$a^2 - 5a + 2 = a^2 - 5a + 1 + 1 = (a^2 + 1) + (-5a + 1)$

Представление в виде разности: Разобьем член $-5a$ на $-4a$ и $-a$ и сгруппируем:

$a^2 - 5a + 2 = a^2 - 4a - a + 2 = (a^2 - 4a) - (a - 2)$

Ответ: в виде суммы: $(a^2 + 1) + (-5a + 1)$; в виде разности: $(a^2 - 4a) - (a - 2)$.

в) $m^2 + m - 4$

Представление в виде суммы: Разобьем свободный член $-4$ на $-1$ и $-3$ и сгруппируем:

$m^2 + m - 4 = m^2 + m - 1 - 3 = (m^2 - 1) + (m - 3)$

Представление в виде разности: Разобьем член $m$ на $2m$ и $-m$ и сгруппируем:

$m^2 + m - 4 = m^2 + 2m - m - 4 = (m^2 + 2m) - (m + 4)$

Ответ: в виде суммы: $(m^2 - 1) + (m - 3)$; в виде разности: $(m^2 + 2m) - (m + 4)$.

г) $y^2 - y + 10$

Представление в виде суммы: Разобьем свободный член $10$ на $4$ и $6$ и сгруппируем:

$y^2 - y + 10 = y^2 - y + 4 + 6 = (y^2 + 4) + (-y + 6)$

Представление в виде разности: Разобьем член $-y$ на $y$ и $-2y$ и сгруппируем:

$y^2 - y + 10 = y^2 + y - 2y + 10 = (y^2 + y) - (2y - 10)$

Ответ: в виде суммы: $(y^2 + 4) + (-y + 6)$; в виде разности: $(y^2 + y) - (2y - 10)$.

6.83 Известно, что $t - u = 18$, $u - s = 13$. Найдите $t - s$ и $s - t$.

t - s

Нам даны два уравнения:
1) $t - u = 18$
2) $u - s = 13$

Чтобы найти значение выражения $t - s$, мы можем сложить левые и правые части этих двух уравнений. Это позволит нам исключить переменную $u$, так как в одном уравнении она вычитается ($-u$), а в другом прибавляется ($+u$).

Сложим уравнения:
$(t - u) + (u - s) = 18 + 13$

Раскроем скобки в левой части и выполним сложение в правой:
$t - u + u - s = 31$

Члены $-u$ и $u$ в сумме дают ноль и взаимно уничтожаются:
$t - s = 31$

Ответ: 31

s - t

Мы уже нашли, что $t - s = 31$.

Выражение $s - t$ является противоположным по знаку выражению $t - s$. Чтобы найти его значение, можно вынести знак минус за скобки:
$s - t = -(t - s)$

Теперь подставим известное значение выражения $t - s$:
$s - t = -(31)$
$s - t = -31$

Ответ: -31

6.84 Выразите $a-c$ и $c-a$ через $x$ и $y$, если $x=a-b$, $y=b-c$.

a - c

По условию задачи нам даны два равенства:
1) $x = a - b$
2) $y = b - c$

Чтобы найти выражение для $a - c$, мы можем сложить эти два равенства. Сложим левые части и правые части уравнений:
$x + y = (a - b) + (b - c)$

Теперь упростим правую часть полученного равенства. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x + y = a - b + b - c$

Члены $-b$ и $+b$ взаимно уничтожаются:
$x + y = a - c$

Таким образом, мы получили искомое выражение.

Ответ: $a - c = x + y$

c - a

Чтобы найти выражение для $c - a$, мы можем воспользоваться результатом, полученным выше. Мы уже знаем, что $a - c = x + y$.

Выражение $c - a$ является противоположным к выражению $a - c$. Мы можем вынести знак минус за скобки:
$c - a = -(a - c)$

Теперь подставим в это равенство известное нам выражение для $a - c$:
$c - a = -(x + y)$

Раскрыв скобки, получим окончательный вид выражения:
$c - a = -x - y$

Ответ: $c - a = -x - y$

6.85 Представьте в виде суммы двух каких-либо двучленов:

а) $x-y$;

б) $x+y$.

Задача состоит в том, чтобы представить выражение $x-y$ в виде суммы двух двучленов. Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов.

Для решения этой задачи можно использовать метод добавления и вычитания одного и того же выражения. Это не изменит исходное значение, так как мы, по сути, прибавляем ноль. Пусть мы прибавим и вычтем некоторую переменную $a$:

$x - y = x - y + a - a$

Теперь у нас есть четыре члена, которые мы можем сгруппировать в два двучлена. Например, сгруппируем $x$ с $a$ и $-y$ с $-a$:

$(x + a) + (-y - a)$

Проверим правильность, раскрыв скобки и упростив выражение:

$(x + a) + (-y - a) = x + a - y - a = x - y$

Результат совпадает с исходным выражением. Так как в задаче требуется найти какие-либо два двучлена, мы можем выбрать для $a$ любое конкретное значение, например, число или другую переменную. Возьмем для примера $a = 5$.

Ответ: $(x + 5) + (-y - 5)$

Аналогично поступим с выражением $x+y$. Чтобы представить его в виде суммы двух двучленов, также прибавим и вычтем одно и то же выражение. Возьмем, например, переменную $z$:

$x + y = x + y + z - z$

Теперь сгруппируем полученные четыре члена в два двучлена. Например, можно сделать это следующим образом:

$(x + z) + (y - z)$

Чтобы убедиться, что преобразование выполнено верно, раскроем скобки:

$(x + z) + (y - z) = x + z + y - z = x + y$

Полученное выражение равно исходному. Таким образом, мы представили $x+y$ в виде суммы двух двучленов: $(x+z)$ и $(y-z)$. Можно выбрать и любое другое выражение вместо $z$.

Ответ: $(x + z) + (y - z)$

6.86 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что если $a + b + c = 0$, то $abc - (a + b - c) - (b + c - a) - (c + a - b) = abc$.

Для доказательства данного тождества воспользуемся предоставленным условием $a + b + c = 0$. Наша задача — преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна правой части.

Левая часть равенства: $abc - (a+b-c) - (b+c-a) - (c+a-b)$.

Из условия $a+b+c=0$ мы можем выразить сумму любых двух переменных через третью:

• $a+b = -c$
• $b+c = -a$
• $c+a = -b$

Теперь подставим эти выражения в соответствующие скобки в левой части доказываемого равенства:

$abc - ( (a+b) - c) - ( (b+c) - a) - ( (c+a) - b) = abc - (-c - c) - (-a - a) - (-b - b)$

Упростим выражения внутри скобок:

$abc - (-2c) - (-2a) - (-2b)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$abc + 2c + 2a + 2b$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель 2 за скобку:

$abc + 2(a+b+c)$

Теперь снова используем исходное условие $a+b+c=0$ и подставляем это значение в полученное выражение:

$abc + 2 \cdot (0) = abc + 0 = abc$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили $abc$, что в точности равно правой части равенства. Это доказывает истинность исходного утверждения.

Ответ: Тождество $abc - (a+b-c) - (b+c-a) - (c+a-b) = abc$ при условии $a+b+c=0$ доказано.

6.87 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) сумму двузначного числа $\overline{ab}$ с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке;

б) разность трёхзначного числа $\overline{abc}$ и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке;

в) сумму всех трёхзначных чисел, которые могут быть записаны цифрами $a$, $b$ и $c$ так, чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз.

а)

Двузначное число, записанное цифрами a и b, обозначается как $\overline{ab}$. В виде многочлена (в десятичной системе счисления) оно записывается как $10a + b$, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, — это $\overline{ba}$. В виде многочлена оно записывается как $10b + a$.

Требуется найти сумму этих двух чисел. Сложим их многочлены:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Полученное выражение $11a + 11b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $11a + 11b$.

б)

Трёхзначное число, записанное цифрами a, b и c, обозначается как $\overline{abc}$. В виде многочлена оно записывается как $100a + 10b + c$, где a — цифра сотен, b — цифра десятков, а c — цифра единиц.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, — это $\overline{cba}$. В виде многочлена оно записывается как $100c + 10b + a$.

Требуется найти разность этих двух чисел:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a - 99c$

Полученное выражение $99a - 99c$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $99a - 99c$.

в)

Требуется найти сумму всех трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр a, b и c, используя каждую цифру ровно один раз. Всего возможно составить $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ таких чисел (перестановок).

Рассмотрим, сколько раз каждая цифра окажется в каждом разряде (сотен, десятков, единиц) во всех шести числах. Каждая из цифр a, b, c окажется в разряде сотен 2 раза, в разряде десятков 2 раза и в разряде единиц 2 раза.

Например, цифра a стоит на первом месте (сотни) в числах $\overline{abc}$ и $\overline{acb}$. На втором месте (десятки) в числах $\overline{bac}$ и $\overline{cab}$. На третьем месте (единицы) в числах $\overline{bca}$ и $\overline{cba}$.

Следовательно, суммарный вклад каждой цифры в общую сумму будет одинаковым по структуре. Для цифры a вклад составит $2 \times 100a + 2 \times 10a + 2 \times 1a = 200a + 20a + 2a = 222a$.

Аналогично, для цифры b вклад будет $222b$, а для цифры c — $222c$.

Общая сумма всех шести чисел равна сумме вкладов каждой цифры:

$S = 222a + 222b + 222c$

Это и есть искомый многочлен стандартного вида.

Ответ: $222a + 222b + 222c$.

6.88 a) Докажите, что сумма двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.

б) Докажите, что разность двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

а) Пусть двузначное число состоит из цифры десятков $a$ и цифры единиц $b$. Тогда это число можно записать в виде $10a + b$. Поскольку число является двузначным, цифра $a$ не может быть нулем ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$, $b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь $b$ десятков и $a$ единиц. Его значение равно $10b + a$.

Найдем сумму этих двух чисел:

$S = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$S = 10a + a + 10b + b = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$S = 11(a + b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами, их сумма $(a + b)$ — это целое число. Таким образом, сумма $S$ всегда является произведением числа 11 на целое число, а значит, она всегда делится на 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $11(a+b)$ и поэтому всегда делится на 11.

б) Используем те же обозначения, что и в предыдущем пункте. Первое число — $10a + b$, второе (перевернутое) — $10b + a$.

Найдем разность этих чисел. Для определённости предположим, что первое число больше или равно второму (это соответствует условию $a \ge b$).

$D = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D = 10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$D = 9(a - b)$

Поскольку $a$ и $b$ — цифры, их разность $(a - b)$ является целым числом. Следовательно, разность $D$ всегда является произведением числа 9 на целое число, а значит, она всегда делится на 9. Если бы второе число было больше первого ($b > a$), разность была бы $9(b-a)$, что также делится на 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, но в обратном порядке, равна $9|a-b|$ и поэтому всегда делится на 9.