Номер 6.87, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.87 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) сумму двузначного числа $\overline{ab}$ с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке;

б) разность трёхзначного числа $\overline{abc}$ и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке;

в) сумму всех трёхзначных чисел, которые могут быть записаны цифрами $a$, $b$ и $c$ так, чтобы каждая из них содержалась в числе только один раз.

а)

Двузначное число, записанное цифрами a и b, обозначается как $\overline{ab}$. В виде многочлена (в десятичной системе счисления) оно записывается как $10a + b$, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, — это $\overline{ba}$. В виде многочлена оно записывается как $10b + a$.

Требуется найти сумму этих двух чисел. Сложим их многочлены:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Полученное выражение $11a + 11b$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $11a + 11b$.

б)

Трёхзначное число, записанное цифрами a, b и c, обозначается как $\overline{abc}$. В виде многочлена оно записывается как $100a + 10b + c$, где a — цифра сотен, b — цифра десятков, а c — цифра единиц.

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, — это $\overline{cba}$. В виде многочлена оно записывается как $100c + 10b + a$.

Требуется найти разность этих двух чисел:

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 99a - 99c$

Полученное выражение $99a - 99c$ является многочленом стандартного вида.

Ответ: $99a - 99c$.

в)

Требуется найти сумму всех трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр a, b и c, используя каждую цифру ровно один раз. Всего возможно составить $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ таких чисел (перестановок).

Рассмотрим, сколько раз каждая цифра окажется в каждом разряде (сотен, десятков, единиц) во всех шести числах. Каждая из цифр a, b, c окажется в разряде сотен 2 раза, в разряде десятков 2 раза и в разряде единиц 2 раза.

Например, цифра a стоит на первом месте (сотни) в числах $\overline{abc}$ и $\overline{acb}$. На втором месте (десятки) в числах $\overline{bac}$ и $\overline{cab}$. На третьем месте (единицы) в числах $\overline{bca}$ и $\overline{cba}$.

Следовательно, суммарный вклад каждой цифры в общую сумму будет одинаковым по структуре. Для цифры a вклад составит $2 \times 100a + 2 \times 10a + 2 \times 1a = 200a + 20a + 2a = 222a$.

Аналогично, для цифры b вклад будет $222b$, а для цифры c — $222c$.

Общая сумма всех шести чисел равна сумме вкладов каждой цифры:

$S = 222a + 222b + 222c$

Это и есть искомый многочлен стандартного вида.

Ответ: $222a + 222b + 222c$.