Номер 6.89, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.89 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ 1) Маша и её брат вкладывали в банк деньги, получаемые ими в подарок от родственников на Новый год. Они имеют на счетах следующие суммы:

Маша: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$;

брат: $500x^2 + 600x + 700$.

1) «Расшифруйте» каждый многочлен.
Подсказка. Посмотрите задачу 6.62.

2) Сколько денег у них вместе на банковских счетах?

3) Сколько процентов в год начисляет банк, если $x = 1,12$? На чьём счёте в этом случае денег больше и на сколько? (Воспользуйтесь калькулятором.)

1) «Расшифруйте» каждый многочлен.

В таких задачах переменная $x$ обычно обозначает коэффициент годового роста суммы вклада, то есть $x = 1 + r$, где $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби. Степень переменной $x$ показывает, сколько лет на соответствующую сумму начислялись проценты. Коэффициенты при степенях $x$ — это суммы первоначальных вкладов, сделанных в разные годы.

Исходя из этого, расшифруем многочлен для счёта Маши: $300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$.
Это можно интерпретировать следующим образом:

• 300 денежных единиц были внесены 3 года назад (и на них 3 раза начислялись проценты).
• 500 денежных единиц были внесены 2 года назад.
• 200 денежных единиц были внесены 1 год назад.
• 700 денежных единиц были внесены в этом году (на них проценты еще не начислялись).

Аналогично расшифруем многочлен для счёта брата: $500x^2 + 600x + 700$.
Это означает:

• 500 денежных единиц были внесены 2 года назад.
• 600 денежных единиц были внесены 1 год назад.
• 700 денежных единиц были внесены в этом году.

Ответ: Многочлены представляют общую сумму на счетах с учётом начисленных процентов. Коэффициенты многочленов — это суммы вкладов, а степени переменной $x$ — это количество лет, в течение которых на эти вклады начислялись проценты.

2) Сколько денег у них вместе на банковских счетах?

Чтобы найти общую сумму на счетах, необходимо сложить многочлены Маши и её брата.

Сумма на счёте Маши: $M(x) = 300x^3 + 500x^2 + 200x + 700$
Сумма на счёте брата: $B(x) = 500x^2 + 600x + 700$

Общая сумма $T(x) = M(x) + B(x) = (300x^3 + 500x^2 + 200x + 700) + (500x^2 + 600x + 700)$.

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$T(x) = 300x^3 + (500x^2 + 500x^2) + (200x + 600x) + (700 + 700)$

$T(x) = 300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$

Ответ: Вместе на банковских счетах у них сумма, которая выражается многочленом $300x^3 + 1000x^2 + 800x + 1400$.

3) Сколько процентов в год начисляет банк, если x = 1,12? На чьём счёте в этом случае денег больше и на сколько? (Воспользуйтесь калькулятором.)

Сначала определим годовую процентную ставку. Как мы установили в пункте 1, $x = 1 + r$, где $r$ — годовая процентная ставка.

Подставим значение $x = 1,12$:
$1,12 = 1 + r$
$r = 1,12 - 1 = 0,12$

Чтобы перевести ставку в проценты, умножим значение $r$ на 100: $0,12 \times 100\% = 12\%$.

Теперь рассчитаем сумму на каждом счёте, подставив $x = 1,12$ в соответствующие формулы.

Сумма на счёте Маши:
$M(1,12) = 300 \cdot (1,12)^3 + 500 \cdot (1,12)^2 + 200 \cdot (1,12) + 700$
$M(1,12) = 300 \cdot 1,404928 + 500 \cdot 1,2544 + 224 + 700$
$M(1,12) = 421,4784 + 627,2 + 224 + 700 = 1972,6784$

Сумма на счёте брата:
$B(1,12) = 500 \cdot (1,12)^2 + 600 \cdot (1,12) + 700$
$B(1,12) = 500 \cdot 1,2544 + 672 + 700$
$B(1,12) = 627,2 + 672 + 700 = 1999,2$

Сравним полученные суммы: $1999,2 > 1972,6784$. Следовательно, на счёте брата денег больше.

Найдём разницу между суммами на счетах:
$1999,2 - 1972,6784 = 26,5216$

Ответ: Банк начисляет 12% в год. На счёте брата денег больше на 26,5216 денежных единиц.