Номер 6.94, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.94 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ Иногда удобно вести запись умножения в столбик:

$\begin{array}{r} -5a^2 \\\times (3a^3 - a + 4) \\\hline-15a^5 + 5a^3 - 20a^2\end{array}$

Умножьте одночлен на многочлен:

а) $3n^4(n^2 + 2n - 4)$;

б) $-2m^3(3m - 2m^2 + m^3)$;

в) $5xy^2(2x - x^2y - x^3)$.

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Это называется распределительным свойством умножения.
$3n^4(n^2 + 2n - 4) = 3n^4 \cdot n^2 + 3n^4 \cdot 2n + 3n^4 \cdot (-4)$
Выполним умножение для каждого слагаемого, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3n^4 \cdot n^2 = 3n^{4+2} = 3n^6$
$3n^4 \cdot 2n = (3 \cdot 2)n^{4+1} = 6n^5$
$3n^4 \cdot (-4) = -12n^4$
Теперь сложим полученные одночлены:
$3n^6 + 6n^5 - 12n^4$
Ответ: $3n^6 + 6n^5 - 12n^4$.

б) Умножим одночлен $-2m^3$ на многочлен $(3m - 2m^2 + m^3)$, используя распределительное свойство умножения.
$-2m^3(3m - 2m^2 + m^3) = (-2m^3) \cdot 3m + (-2m^3) \cdot (-2m^2) + (-2m^3) \cdot m^3$
Вычислим каждое произведение:
$(-2m^3) \cdot 3m = (-2 \cdot 3)m^{3+1} = -6m^4$
$(-2m^3) \cdot (-2m^2) = ((-2) \cdot (-2))m^{3+2} = 4m^5$
$(-2m^3) \cdot m^3 = -2m^{3+3} = -2m^6$
Сложим результаты и для приведения к стандартному виду запишем многочлен, расположив его члены по убыванию степеней переменной $m$:
$-6m^4 + 4m^5 - 2m^6 = -2m^6 + 4m^5 - 6m^4$
Ответ: $-2m^6 + 4m^5 - 6m^4$.

в) Умножим одночлен $5xy^2$ на многочлен $(2x - x^2y - x^3)$.
$5xy^2(2x - x^2y - x^3) = 5xy^2 \cdot 2x + 5xy^2 \cdot (-x^2y) + 5xy^2 \cdot (-x^3)$
Последовательно умножаем одночлен на каждый член многочлена:
$5xy^2 \cdot 2x = (5 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot y^2 = 10x^{1+1}y^2 = 10x^2y^2$
$5xy^2 \cdot (-x^2y) = -5 \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y) = -5x^{1+2}y^{2+1} = -5x^3y^3$
$5xy^2 \cdot (-x^3) = -5 \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^2 = -5x^{1+3}y^2 = -5x^4y^2$
Суммируем полученные выражения:
$10x^2y^2 - 5x^3y^3 - 5x^4y^2$
Для стандартного вида можно упорядочить члены, например, по убыванию степени переменной $x$:
$-5x^4y^2 - 5x^3y^3 + 10x^2y^2$
Ответ: $-5x^4y^2 - 5x^3y^3 + 10x^2y^2$.