Номер 6.93, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

6.93 Представьте в виде многочлена:

а) $5(a^2 - 2ab + b^2);$

б) $2m(m^2 - 3m + 3);$

в) $-3(x^2 + xy + y^2);$

г) $4n^2(1 - 2n^2 - 3n^3);$

д) $2b^2(b - ab + 4a^2);$

е) $-3c^3(4d + 3cd - c^2).$

а) Чтобы представить выражение $5(a^2 - 2ab + b^2)$ в виде многочлена, необходимо умножить множитель $5$ на каждый член многочлена, стоящего в скобках, используя распределительный закон умножения $a(b+c) = ab+ac$.

Выполним умножение последовательно для каждого члена в скобках:

$5 \cdot a^2 = 5a^2$

$5 \cdot (-2ab) = -10ab$

$5 \cdot b^2 = 5b^2$

Теперь сложим полученные произведения, чтобы получить итоговый многочлен:

$5(a^2 - 2ab + b^2) = 5a^2 - 10ab + 5b^2$

Ответ: $5a^2 - 10ab + 5b^2$

б) Умножим одночлен $2m$ на многочлен $m^2 - 3m + 3$. Для этого умножим $2m$ на каждый член многочлена в скобках.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^n \cdot a^k = a^{n+k}$).

$2m \cdot m^2 = 2m^{1+2} = 2m^3$

$2m \cdot (-3m) = -6m^{1+1} = -6m^2$

$2m \cdot 3 = 6m$

Собрав все члены вместе, получим многочлен:

$2m(m^2 - 3m + 3) = 2m^3 - 6m^2 + 6m$

Ответ: $2m^3 - 6m^2 + 6m$

в) Умножим число $-3$ на многочлен $x^2 + xy + y^2$.

Применим распределительный закон, умножая $-3$ на каждый член в скобках:

$-3 \cdot x^2 = -3x^2$

$-3 \cdot xy = -3xy$

$-3 \cdot y^2 = -3y^2$

Сложим полученные результаты:

$-3(x^2 + xy + y^2) = -3x^2 - 3xy - 3y^2$

Ответ: $-3x^2 - 3xy - 3y^2$

г) Представим выражение $4n^2(1 - 2n^2 - 3n^3)$ в виде многочлена. Умножим одночлен $4n^2$ на каждый член многочлена в скобках.

Выполняем умножение:

$4n^2 \cdot 1 = 4n^2$

$4n^2 \cdot (-2n^2) = -8n^{2+2} = -8n^4$

$4n^2 \cdot (-3n^3) = -12n^{2+3} = -12n^5$

Записываем итоговый многочлен, складывая полученные члены:

$4n^2(1 - 2n^2 - 3n^3) = 4n^2 - 8n^4 - 12n^5$

Ответ: $4n^2 - 8n^4 - 12n^5$

д) Умножим одночлен $2b^2$ на многочлен $b - ab + 4a^2$.

Выполним умножение $2b^2$ на каждый член в скобках:

$2b^2 \cdot b = 2b^{2+1} = 2b^3$

$2b^2 \cdot (-ab) = -2ab^{2+1} = -2ab^3$

$2b^2 \cdot 4a^2 = 8a^2b^2$

Объединяем полученные члены в многочлен:

$2b^2(b - ab + 4a^2) = 2b^3 - 2ab^3 + 8a^2b^2$

Ответ: $2b^3 - 2ab^3 + 8a^2b^2$

е) Представим выражение $-3c^3(4d + 3cd - c^2)$ в виде многочлена. Для этого умножим одночлен $-3c^3$ на каждый член многочлена в скобках.

Выполняем умножение:

$-3c^3 \cdot 4d = -12c^3d$

$-3c^3 \cdot 3cd = -9c^{3+1}d = -9c^4d$

$-3c^3 \cdot (-c^2) = 3c^{3+2} = 3c^5$

Записываем результат, складывая полученные произведения:

$-3c^3(4d + 3cd - c^2) = -12c^3d - 9c^4d + 3c^5$

Ответ: $-12c^3d - 9c^4d + 3c^5$